ベータ分布の確率密度・下側P・上側Q

使い方

1. 0から1までの評価点xと、0より大きい二つの形状母数a・bを入力します。
2. 密度は一点の高さ、Pは0からxまで、Qはxから1までの面積として読みます。
3. xが1に近い右裾では、対称形で直接計算されたQを使って小確率を確認します。

計算式・考え方

標準Beta(a,b)についてf=x^(a−1)(1−x)^(b−1)/B(a,b)、P=I_x(a,b)です。上側Qは1−Pの減算ではなく、DLMFの対称関係によりI_(1−x)(b,a)を直接評価します。

注意事項

• 本ページは下限0・上限1の標準ベータ分布です。NIST Handbookには一般区間での式もありますが、参照ページは0≤x≤1と形状a,bだけを入力するため、任意の下限・上限やlocation–scale変換は追加していません。
• x=0ではa=1なら密度b、a>1なら0、0<a<1なら+∞です。x=1ではbが同じ役割を持ちます。無限端点を有限値へ置き換えず拒否し、a=1またはb=1の有限境界は分岐式でlog(0)を避けます。
• DLMF 8.17節のI_x(a,b)と対称関係を用います。xが1に非常に近い場合、Q=I_(1−x)(b,a)を直接計算するため、Pが1へ丸まってもQが表現可能なら小さな右裾確率を保持できます。
• 形状a,bは分布の左右の集中を変えますが、成功数・失敗数、事前分布・事後分布などの意味付けを自動では行いません。Bayes分析や監査サンプリングでは、母数に1を加える流儀を含め採用モデルを確認してください。
• NIST Digital Library of Mathematical Functions（DLMF）8.2節で、正規化不完全ガンマ関数P(a,x)とQ(a,x)、およびP+Q=1を確認しました。8.17節では正規化不完全ベータ関数I_x(a,b)と対称関係I_x(a,b)=1−I_(1−x)(b,a)を確認しています。
• 上側確率Qは、下側確率を計算して1から引く方法に固定していません。χ²・Gammaはregularized_gamma_qを直接呼び、Betaは対称関係の小さい側I_(1−x)(b,a)を直接評価します。Pが倍精度で1へ丸まる極端な右裾でも、表現可能なQを不必要に0へ失わないためです。
• 確率分布の数値は、入力した分布と母数が正しいという条件付きの数学的結果です。データがその分布に適合するか、母数推定にどの程度の誤差があるか、検定で帰無仮説を棄却すべきかを自動判断しません。研究・品質管理・監査では分析計画と使用ソフトの定義を別途確認してください。
• 確率密度f(x)は一点の確率ではありません。連続分布で区間[a,b]へ入る確率は密度をその区間で積分した面積で、一点だけの確率は0です。累積P・Qと密度は単位も用途も異なるため、密度の高さをp値や発生確率として読まず、必要な結果欄と確率方向を先に決めてください。
• 表示は最大15有効桁ですが、最終桁まで数学的真値を保証するものではありません。順方向と逆方向の反復、極端な形状母数、0または1に近い確率では丸め誤差が拡大し得ます。報告書では母数化、P/Qの向き、使用桁数を記録し、必要精度に応じて別実装や高精度ライブラリとも照合してください。
• 計算は許可制ASTと共有runtime 1.7の有界反復だけで端末内実行します。eval、new Function、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketは使いません。入力値や結果は外部送信・保存されず、WordPressへの書込みや下書き作成も行いません。
• 参照ページ、NIST Engineering Statistics Handbook、DLMFは2026年7月13日に照合しました。本実装はscalarの密度・累積確率・分位点だけを対象とし、値の範囲を走査するグラフ版や一覧表版は説明本文へ縮約せず、このwaveから除外しています。
• 指定分布・母数に基づく数学的結果です。モデル適合、母数推定、検定・監査上の結論を保証しません。

よくある質問