二項分布のPMF・累積確率を最大201点でグラフ・表計算

使い方

1. 固定試行回数n、1試行の成功確率p、表示関数と成功回数xの整数格子を入力します。既定はn=20,p=0.25,x=0〜12です。
2. PMFの山が期待値np=5付近にあること、PとQが反対方向へ単調に動くことを確認します。
3. x=5でf≈0.202331、P≈0.617173、Q≈0.585158を表で検算します。

計算式・考え方

X~Binomial(n,p)について0≤x≤nでf(x)=C(n,x)p^x(1−p)^(n−x)、P(X≤x)=Σ[t=0..x]f(t)、Q(x)=P(X≥x)=Σ[t=x..n]f(t)です。支持域外はPMF=0、下側は左0・右1、上側は左1・右0へ延長します。

注意事項

• NIST/SEMATECH e-HandbookのBinomial DistributionとSciPy公式scipy.stats.binomを2026年7月13日に確認しました。SciPyのsfはstrict P(X>x)なのでinclusive Q(x)はbinom.sf(x−1,n,p)です。
• 二項分布はn回の試行数が固定され、各試行が独立で、成功確率pが同じというモデルです。期待成功数はnp、分散はnp(1−p)です。抽選ごとに確率が変わる、重複なしで母集団から抜き取る、途中で試行を止める場合は前提が異なります。
• canonicalは非整数xをGamma関数で補間しますが、成功回数の確率質量は整数0..nで定義されます。本ページは整数格子を採用し、x>nをエラーではなくPMF0、P1、Q0として安全に表示します。named functionは支持域内だけlazy評価するので、支持域外行が全系列エラーを起こしません。
• p=0ならx=0、p=1ならx=nに確率1が集中します。nが大きいと正規分布やPoisson分布で近似する場合がありますが、近似誤差はnとp、調べる裾によって変わります。このページは正確な二項式を有界範囲で計算し、近似モデルへ自動で切り替えません。
• グラフを比較するときはnとpの両方を固定し、横軸が成功回数であることを確認します。同じ期待値npでもnとpの組合せが違えば分散や裾の確率は一致しません。平均だけを合わせた別分布を同一視せず、判断に使う閾値付近のPMFと累積確率を表の数値で比較してください。
• サンプル番号i=0,1,…,点数−1に対してx_i=x初期値+i×増分を作ります。xは回数を表すため初期値と増分を整数に限定し、増分0は拒否します。負の増分なら大きいxから小さいxへ並べられます。点数は1〜201、xと分布パラメータは原則10,000以下へ有界化し、201回の端末内評価が過大にならないようにしています。
• 離散分布は整数点だけに確率があるため、結果は線で結ばずpoints表示にします。点と点の間に確率密度が続くわけではありません。グラフが小さく見える場合も表の確率値が正本です。代替表には全点を載せ、列見出しを保ったTSVとしてコピーできます。累積関数は単調性も表で確認してください。
• このページのQはxを含むP(X≥x)です。したがってP(X≤x)+P(X≥x)=1+P(X=x)、記号ではP(x)+Q(x)=1+f(x)、Q(x)=1−P(x−1)、P(x)+Q(x+1)=1です。連続分布のように同じxでP+Q=1とはなりません。一般的な統計ライブラリのsurvival functionはP(X>x)なので、変数が同じ規約ならinclusive Q(x)との比較はsf(x−1)です。幾何分布のように確率変数自体を1始まりへ写す場合は、そのページ固有の対応を優先してください。
• schema v4のsampled-series-v1と定義所有の許可制ASTを使い、選択したf/P/Qの枝だけを評価します。eval、new Function、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketは使いません。入力と系列は利用者の端末内だけで処理し、サーバーへ送信・保存しません。WordPressへの書込み、下書き作成、公開も行いません。
• 確率分布の式が正しくても、現実のデータが独立か、同じ確率を持つか、復元抽出か、観測期間が一定かというモデル条件は自動判定できません。グラフの見た目だけで適合性や将来結果を断定せず、確率変数の0始まり/1始まり、パラメータ、支持域、丸め方を計算結果と一緒に記録してください。
• 確率モデルの計算・学習用です。現実の独立性やモデル適合性を保証しません。

よくある質問