第1種完全楕円積分 K(k) 計算

第1種完全楕円積分 K(k) 計算

母数kから第1種完全楕円積分K(k)をCarlson対称積分で計算し、kとparameter mの違いも説明します。

入力

このページのkは母数（modulus）です。|k|=1ではKが発散します。

使い方

  1. −1<k<1の母数kを入力します。canonical既定値はk=0.1です。
  2. 入力条件を確認し、「計算する」を押します。結果欄には楕円積分の無次元値を表示します。
  3. kをparameter mで与えられた資料と比較するときは、m=k²へ換算してから照合します。
  4. 結果をコピーする場合は関数名、入力値、角度単位、確認日も一緒に記録してください。

計算式・考え方

K(k)=∫[0,π/2] dθ/√(1−k²sin²θ) を計算します。kは母数で、|k|<1の有限実数域を扱います。

注意事項

  • K(k)は振幅φ=π/2の第1種不完全楕円積分F(φ,k)です。k=0ではK(0)=π/2、|k|→1で対数的に発散します。値が急増しても計算故障とは限らず、特異点への接近を示します。
  • canonical画面は−1≤k≤1と表示しますが、端点k=±1では積分が発散します。本ページは端点を入力エラーにし、有限値だけを返します。kの符号はk²で消えるのでK(−k)=K(k)です。
  • 有限振幅の単振り子では周期がK(k)で表され、kは最大角の半角正弦から作られます。小振幅のk≈0ではπ/2に近く、振幅が大きいほどKが増えるため、単振動近似からのずれを確認できます。
  • 算術幾何平均AGMを用いるK(k)=π/(2 AGM(1,√(1−k²)))とも照合できます。本実装は第2種・第3種と共通化しやすいCarlson RFを採用します。
  • k=0.1ではK=1.57474556151735595でcanonical POSTと一致します。k=0ではπ/2、k=0.9では約2.28055となるため、入力kとm=0.81を取り違えないでください。
  • 検算ではK(−k)=K(k)の偶対称、K(0)=π/2、0≤k<1での単調増加を順に確認できます。kを0.1ずつ動かして値が逆向きに減る場合は、母数kではなくparameter mを入力していないか、平方根を二重に取っていないかを見直します。
  • 検索で『完全楕円積分 第一種 計算』『K(k) 振り子 周期』を調べた場合、このページが返すのはKそのものです。振り子の周期Tを得るには、重力加速度や長さから作る係数4√(L/g)を別途掛けます。Kの無次元値と秒単位の周期を混同しないでください。
  • 第1種完全楕円積分 K(k)について: この計算は入力から結果表示までブラウザ内で完結します。外部APIへ入力値を送らず、サーバー側で数値積分を繰り返しません。固定回数上限を持つCarlson対称積分の重複法を使うため、端末の計算資源だけで応答し、通信状態に左右されず検算できます。
  • 第1種完全楕円積分 K(k)について: 記号kはLegendre楕円積分の母数modulusです。SciPyやMATLABなど一部の資料・関数が使うparameter mとはm=k²の関係です。たとえばこのページでk=0.5を指定すると、mを取る関数には0.25を渡します。kとmの取り違えは数値不一致の代表原因です。
  • 第1種完全楕円積分 K(k)について: 数値計算はNIST DLMF §19.25のLegendre積分とCarlsonのRF、RD、RJの関係を用い、§19.36の重複法に沿って差を反復的に縮小します。反復は64回を上限にし、収束しない値を近似値へ黙って置き換えません。式と計算法は2026年7月13日に照合しました。
  • 第1種完全楕円積分 K(k)について: 表示値はJavaScriptのIEEE 754 binary64相当で最大15桁に整形します。特異点へ近づくほど関数値と条件数が大きくなり、入力末尾の小さな差が結果へ強く反映されます。高精度論文や任意精度計算を置き換えるものではなく、通常精度の設計・学習・実装検算向けです。
  • 第1種完全楕円積分 K(k)について: このページは有限な通常の実積分を対象とします。複素数への解析接続、分母の極をまたぐCauchy主値、発散積分へ便宜的な有限値を割り当てる処理は行いません。入力条件を満たさない場合は対象欄を明示して停止するため、結果だけを見て定義域外に気づかない事故を防げます。
  • 第1種完全楕円積分 K(k)について: 楕円積分は単振り子の周期、楕円弧長、電磁気、弾性、確率分布の変数変換などに現れます。ただし実際の物理量へ適用するときは、無次元化、単位、境界条件、採用するkまたはmの規約を元の式で確認してください。この計算値だけで安全率や設計可否を決めないでください。
  • 第1種完全楕円積分 K(k)について: 実際の検算では、まず既定値を計算して表示桁と入力規約を確認し、次にゼロ、符号反転、完全積分へ戻る端点など既知の関係を一つずつ試します。その後で目的の入力を計算し、結果を別のソフトへ渡すときは画面表示を手入力せずコピーボタンを使います。末尾桁の差は二進浮動小数と表示丸めで生じるため、全桁一致だけを合否基準にせず、絶対誤差と相対誤差、特異点からの距離を併記してください。同じ値を再現するには関数の種類、引数順、kかmか、角度単位、使用した桁数を記録します。
  • 有限な通常の実数楕円積分を学習・検算するツールです。Cauchy主値、複素値、任意精度は扱いません。

よくある質問

k=1を計算できないのはなぜ？

θ=π/2で分母が0となり、Kは対数発散するためです。

m=0.5を使いたい場合のkは？

k=√0.5を入力します。このページはmではなくkを取ります。

負のkで値が同じなのはなぜ？

定義式にk²だけが現れるためKはkの偶関数です。

第1種完全楕円積分 K(k)の入力と結果は利用端末内だけで処理され、外部APIやWordPressへ自動送信しません。ページを閉じた後の履歴保存もこのツール自身は行いません。