指数積分 Ei(x)を実数Cauchy主値で計算

使い方

1. 入力欄へ−20以上20以下で0ではない実数xを指定します。既定値はcanonicalページと同じx=1です。
2. 「計算する」を押し、結果欄に表示されるEi(x)を確認します。入力エラーが出た場合は範囲と特異点を見直します。
3. Ei(1)とEi(−1)の代表値、およびx=0の両側で値が発散することを使って符号、極限、既知値との整合を確認します。
4. 結果を再利用するときはコピーボタンを使い、関数の定義、入力値、丸め桁も一緒に記録します。

計算式・考え方

実数Cauchy主値として Ei(x)=PV∫_{−∞}^{x} e^t/t dt を採用します。x≠0で、x<0ではE1との関係Ei(x)=−E1(−x)を持ちます。

注意事項

• Eiは指数関数をtで割った核を積分する関数で、積分区間がt=0を横切る場合は通常の広義積分ではなくCauchy主値で解釈します。正のxでは主値を挟んだ寄与が含まれ、負のxでは積分区間が特異点へ到達しないため負の有限値になります。
• このページは実数軸上の主値だけを返します。複素平面でのEiには負の実軸に沿う枝切りと虚部の選択がありますが、ここでは扱いません。x<0の結果は実数E1へ移し替えて確認でき、複素主値の上側・下側極限を混ぜないことが大切です。
• x=0では対数的に発散するため入力エラーです。0へ負側から近づくと−∞、正側から近づいても十分近い範囲では−∞へ向かいますが、0そのものへ有限値を割り当てません。公開範囲の端−20と20は有限で、正側では値が急速に大きくなります。
• 0の近くではγ+ln|x|に小さなべき級数項が加わり、大きな正のxでは概ねe^x/xの規模へ成長します。負の大きな絶対値では0に近い負値になります。符号だけで単調性を判断せず、0をまたぐ別々の実数区間として読みます。
• 指数積分は拡散、熱伝導、放射輸送、回路の過渡応答などの解析式に現れます。ただし実際の式ではEiの引数に無次元化された組合せが入るため、この計算機へ物理単位付きの量をそのまま入力しないでください。
• x>0ならEi(−x)=−E1(x)で検算できます。数値ライブラリのexpint、E1、Eiは名前が似ていますが定義域と符号が異なります。特にEnページのE1(x)へ正のxを渡した値と、このページのEi(x)を同じ引数で比較しないようにします。
• グラフ版では0を欠損点として左右の曲線を分離します。スカラー版は一点だけを詳しく確認できるので、グラフで急変して見える0近傍や負側の小さな値を数値として読み取る用途に向きます。
• 指数積分Eiの定義、実数枝、特異点、既知の関係式は、NIST Digital Library of Mathematical Functions（DLMF）の§6.2および§6.6を2026年7月13日に照合しました。実装は公式の定義と同じ関数を共有数値エンジンで直接評価し、ページごとに別の近似式を複製していません。そのためグラフ版とスカラー版で枝や正規化が食い違うことを避けられます。
• 指数積分Ei計算ページは、一つの入力条件に対する一つの実数値を確認するためのスカラー計算機です。連続した多数の点を観察したい場合は対応するグラフ版を使い、ここでは代表点、境界点、論文や教科書の例題に現れる値を落ち着いて照合してください。数式の記号が同じでも、正規化、積分路、主値、枝の選び方が異なれば別の値になります。入力前に指数積分Eiページで採用した定義を確認することが重要です。
• 表示値はブラウザのIEEE 754 binary64相当の有限精度で計算し、最大15桁を目安に整形します。最終桁は丸め、演算順序、参照ソフトの内部アルゴリズムによってわずかに変わることがあります。ゼロに非常に近い結果では相対誤差が大きく見えるため、絶対誤差も併せて判断してください。任意精度計算や複素数解析を置き換えるものではなく、実数範囲で再現しやすい確認値を得るための道具です。
• 入力範囲は、共有数値エンジンで十分に検証した有限区間へ明示的に限定しています。範囲外、未定義点、NaN、無限大、必要な整数条件を満たさない値は推測で丸めず、入力エラーとして停止します。特異点の近くで大きな有限値が返る場合と、特異点そのものが未定義である場合を区別してください。エラーを別の数で埋める処理は行わないため、計算条件の取り違えを発見しやすくなっています。
• 計算は端末内のJavaScriptだけで完結し、入力値を外部APIへ送信しません。通信待ちやサーバー側の計算資源に依存しないため、同じブラウザ環境と同じ入力なら結果を再確認できます。ただし画面の値だけを根拠に工学上の安全率、医療判断、金融判断を決めることはできません。単位、前提式、測定誤差、モデルの適用範囲を含めて、利用目的に応じた検証を別途行ってください。
• 検算では通常点だけでなく、符号反転、ゼロ、定義域の端、特異点の直前直後を分けて調べると効果的です。対応する恒等式や漸化式がある場合は、元の入力を少し変えた結果も比較してください。表計算ソフトや数値ライブラリと照合するときは、関数名だけでなく実数枝と正規化を一致させます。コピーした値には関数名、入力、確認日を添えると、後から条件を復元しやすくなります。
• 実数二進浮動小数点による学習・検算用の近似値です。複素枝、任意精度、個別の工学・科学モデルの妥当性は扱いません。

よくある質問