第2種不完全楕円積分 E(x,k) 計算

使い方

1. −1≤x≤1と|k×x|≤1を満たすx、kを入力します。既定値はx=0.9、k=0.4です。
2. 入力条件を確認し、「計算する」を押します。結果欄には楕円積分の無次元値を表示します。
3. kをparameter mで与えられた資料と比較するときは、m=k²へ換算してから照合します。
4. 結果をコピーする場合は関数名、入力値、角度単位、確認日も一緒に記録してください。

計算式・考え方

E(x,k)=∫[0,x] √((1−k²t²)/(1−t²))dt を計算します。x=sinφの主区間表現です。

注意事項

• 第2種x形式は上端xまでの平方根比を積分します。x=sinφと置けば主区間のE(φ,k)に一致し、x=±1では符号付きの完全積分±E(k)へつながります。
• |x|≤1かつ|kx|≤1なら平方根は実数です。第1種と異なり|x|=|kx|=1でも比の極限が有限で、E(1,1)=1、E(−1,1)=−1として扱えます。
• 楕円弧長の一部分や曲線の長さを主区間のxで与える式に使えます。ただし実際の楕円上の偏角と積分振幅の関係は座標の取り方で変わるため、x=sinφのφを図形の極角と直結させないでください。
• E(x,k)=E(arcsin x,k)は主区間で成立します。180度のように同じsin値を持つ別の振幅はx形式から復元できないため、周期を含む問題はE(φ,k)を使用します。
• x=0.9、k=0.4ではE=1.0900196044805125でcanonical POSTと一致します。x=0は0、x=1では完全積分E(k)、x=1かつk=1では1です。
• E(−x,k)=−E(x,k)、E(0,k)=0、E(1,k)=E(k)を確認します。k=0なら被積分関数は1/√(1−t²)となりE(x,0)=arcsin(x)です。k=1では主区間でE(x,1)=xとなるため、端点だけでなく途中のxでも簡単な基準値を作れます。
• 第2種x形式は名前が完全積分E(k)と似ていますが、上端xを持つ別の関数です。検索結果や表計算ソフトでEllipticE[m]とEllipticE[φ,m]が分かれている場合、このページは後者へφ=arcsin x、m=k²を渡す側に対応します。引数個数も照合してください。
• 第2種不完全楕円積分 E(x,k)について: この計算は入力から結果表示までブラウザ内で完結します。外部APIへ入力値を送らず、サーバー側で数値積分を繰り返しません。固定回数上限を持つCarlson対称積分の重複法を使うため、端末の計算資源だけで応答し、通信状態に左右されず検算できます。
• 第2種不完全楕円積分 E(x,k)について: 記号kはLegendre楕円積分の母数modulusです。SciPyやMATLABなど一部の資料・関数が使うparameter mとはm=k²の関係です。たとえばこのページでk=0.5を指定すると、mを取る関数には0.25を渡します。kとmの取り違えは数値不一致の代表原因です。
• 第2種不完全楕円積分 E(x,k)について: 数値計算はNIST DLMF §19.25のLegendre積分とCarlsonのRF、RD、RJの関係を用い、§19.36の重複法に沿って差を反復的に縮小します。反復は64回を上限にし、収束しない値を近似値へ黙って置き換えません。式と計算法は2026年7月13日に照合しました。
• 第2種不完全楕円積分 E(x,k)について: 表示値はJavaScriptのIEEE 754 binary64相当で最大15桁に整形します。特異点へ近づくほど関数値と条件数が大きくなり、入力末尾の小さな差が結果へ強く反映されます。高精度論文や任意精度計算を置き換えるものではなく、通常精度の設計・学習・実装検算向けです。
• 第2種不完全楕円積分 E(x,k)について: このページは有限な通常の実積分を対象とします。複素数への解析接続、分母の極をまたぐCauchy主値、発散積分へ便宜的な有限値を割り当てる処理は行いません。入力条件を満たさない場合は対象欄を明示して停止するため、結果だけを見て定義域外に気づかない事故を防げます。
• 第2種不完全楕円積分 E(x,k)について: 楕円積分は単振り子の周期、楕円弧長、電磁気、弾性、確率分布の変数変換などに現れます。ただし実際の物理量へ適用するときは、無次元化、単位、境界条件、採用するkまたはmの規約を元の式で確認してください。この計算値だけで安全率や設計可否を決めないでください。
• 第2種不完全楕円積分 E(x,k)について: 実際の検算では、まず既定値を計算して表示桁と入力規約を確認し、次にゼロ、符号反転、完全積分へ戻る端点など既知の関係を一つずつ試します。その後で目的の入力を計算し、結果を別のソフトへ渡すときは画面表示を手入力せずコピーボタンを使います。末尾桁の差は二進浮動小数と表示丸めで生じるため、全桁一致だけを合否基準にせず、絶対誤差と相対誤差、特異点からの距離を併記してください。同じ値を再現するには関数の種類、引数順、kかmか、角度単位、使用した桁数を記録します。
• 有限な通常の実数楕円積分を学習・検算するツールです。Cauchy主値、複素値、任意精度は扱いません。

よくある質問