複素Airy関数Ai(z)・Bi(z)の値を計算

使い方

1. 複素引数zの実部と虚部を別々に入力します。実数なら虚部を0にします。
2. 計算するとAi(z)とBi(z)を2行で表示し、Re、Im、絶対値、主偏角radを確認できます。
3. 関数名とzを表の見出しと一緒にコピーし、必要なら導関数ページと同じ入力でWronskianを検算します。

計算式・考え方

Ai(z)とBi(z)はw''−zw=0を満たす標準解です。複素平面全体で整関数となる二つの値を同じzで計算し、実数版へ縮約しません。

注意事項

• Aiは正の実軸で減衰境界条件を表す代表解ですが、複素zでは偏角によって指数因子の実部が変わります。『Aiは常に小さい』とはせず、zの偏角を含めて値を読みます。
• 原点ではAi(0)≈0.355028053887817、Bi(0)=√3Ai(0)≈0.614926627446001です。z=0を許可し、既知値をnormalとは別のengine検査で使える設計です。
• Airy Ai・Biの複素値を一点だけ検算したい場面に向くページです。実軸グラフや零点順位を探す用途とは分け、指定したzにおける二つの関数値を同じ表で比較できます。
• Ai(z)とBi(z)は同じ微分方程式の基底ですが、境界条件の意味は対称ではありません。正の実軸で減衰するAiと増加するBiを別々に残すことで、後から任意の線形結合c1Ai+c2Biを作れます。このページは係数を推定せず、基底値の確認に徹します。
• 負の実数zではAiとBiが振動し、それぞれ異なる零点列を持ちます。値が零点近傍なら絶対値が小さく、主偏角はわずかな丸めで大きく変わり得ます。零点そのものを証明する用途では、符号や偏角だけでなく専用の高精度零点計算を使います。
• 一般の複素zでは実部と虚部のどちらか一方が小さくなることがあります。小成分だけの相対誤差は全体の複素相対誤差より大きく見えるため、Re・Imの絶対誤差と|w|に対する誤差を分けて読みます。表示桁をそのまま厳密値とはみなしません。
• AiとBiの接続公式ではzを120度回転した値が現れますが、Airy関数自体にbranch cutはありません。平方根やz^(3/2)を使う途中式の枝が変わっても、正しい接続式を組み合わせた最終結果は同じ整関数へ戻ります。途中式のprincipal rootだけを単独で比較しません。
• Ai(z)とBi(z)を別環境で照合するときは、指数因子を除いたscaled関数でないことを確認します。大きな正実数ではunscaled Aiが非常に小さくBiが大きくなるため、scaled版と数桁ずれるのではなく、定義そのものが指数因子分だけ違う場合があります。
• 複素共役点zとconj(z)を同じ表で比べると、実係数の方程式に由来する共役対称性を確認できます。これは上半平面と下半平面の実装を検査する手掛かりですが、二点が厳密な共役でない場合や入力が丸められた場合には成分が完全一致しません。
• 転回点近傍の近似式へAiry関数を代入する場合、モデル側の変数変換でzの符号や複素位相が決まります。Aiの引数を実数へ丸めたり、Biを自動的に捨てたりせず、導出した無次元zと境界条件をそのまま保存して数値表と対応させます。
• Airy関数Ai(z)とBi(z)は複素微分方程式w''−zw=0の独立な標準解です。係数が整関数なのでAi、Biとその導関数は複素平面全体で一価の整関数となり、Kelvin関数や非整数次数Bessel関数のような負実軸の枝切りはありません。負の実数を入力しても上側・下側を選ぶ必要はなく、同じzへ同じ値を返します。
• 複素引数はRe(z)とIm(z)を別々の有限数値として入力します。1+0.5iのような式文字列、極形式、変数を含む式は受け付けません。許可範囲は|z|≤12で、各成分が範囲内でも平方和が144を超える点は拒否します。z=0は正則点なので入力でき、既知のGamma関数値と照合できます。
• 正の実軸ではAiが急速に減衰しBiが急速に増加しますが、複素平面では増加・減衰する方向がStokes線を境に入れ替わります。実軸だけの『Aiは小さい、Biは大きい』という覚え方を任意の偏角へ延長せず、実部、虚部、絶対値、主偏角を同じ入力点で確認してください。
• AiとBiのWronskianはAi(z)Bi'(z)−Ai'(z)Bi(z)=1/πです。値と導関数の四つを同じ数値経路で求めたときの整合性検査に使えますが、この恒等式だけが合っても共通の尺度誤りや全桁の正確さまでは保証しません。独立した高精度値、微分方程式、既知の原点値も併用します。
• 原点の値はAi(0)=1/(3^(2/3)Γ(2/3))、Bi(0)=1/(3^(1/6)Γ(2/3))、Ai′(0)=−1/(3^(1/3)Γ(1/3))、Bi′(0)=3^(1/6)/Γ(1/3)です。べき級数ではこの四つを初期値とし、微分方程式の係数漸化式で値と導関数を同時に進められます。符号や√3の係数を検算する基準にもなります。
• 係数が実数なので共役対称性Ai(conj(z))=conj(Ai(z))、Bi(conj(z))=conj(Bi(z))が成り立ち、導関数も同様です。上半平面と下半平面の結果を比較するときは、入力の虚部だけを反転した共役点同士で確認します。任意の二点を共役だと思い込んで虚部の符号を変えません。
• Airy方程式は転回点近傍の一様漸近展開、量子力学の線形ポテンシャル、光学の回折、流体や波動の境界層に現れます。ただし実際のモデルではzへ入る無次元化、複素位相、境界条件によってAiとBiの線形結合が決まるため、計算結果だけから物理的に採用すべき解を自動判定しません。
• 正の実軸でAiが非常に小さくBiが非常に大きい点では、二解を同じ絶対誤差だけで評価できません。Aiは小さい値を保持できたか、Biは相対誤差を保てたかを分けて確認し、Wronskianの差で巨大項が相殺する点では高精度oracleも使います。複素sectorでも優勢解と劣勢解の役割が入れ替わることがあります。
• 表示はIEEE 754 binary64を基礎とする最大15有効桁です。絶対値が極端に小さい解と大きい解が共存するsector、零点の近く、Stokes線の近くでは相対誤差や偏角が敏感になります。表示上0に見える成分を厳密な0と決めず、必要な精度が15桁を超える用途では任意精度実装で再計算してください。
• この計算機は1個の複素入力点におけるunscaled値を返します。区間グラフ、複素零点探索、逆関数、積分、任意精度、誤差区間、指数因子を除いたscaled Airy関数は対象外です。複数点の計算結果をつないでも、その線分が解析接続経路や零点を厳密に表すとは限りません。
• 数値coreは有界な級数、漸近展開、接続式または同値な複素微分方程式移送を使い、反復回数と有限性を検査します。収束しない入力、非有限な中間値、公開範囲外の値を境界へ丸めたり、虚部を捨てて実数版へ移し替えたりせず、計算エラーとして閉じます。
• 入力値と結果は利用者のブラウザ内だけで処理されます。外部API、CDN、fetch、XMLHttpRequest、WebSocket、位置情報、Cookie、localStorageを必要とせず、サーバーへ複素数を送信しません。サイト側で計算履歴を保存しません。共有端末では利用後にページまたはタブを閉じてください。
• 別の数表と比較するときは関数名、引数z、導関数かどうか、有効桁、scaledかunscaledかを一緒に記録してください。特にAi'のプライムはzによる一次微分であり、パラメータ微分や数値列の差分ではありません。実部・虚部を正本として保存すると絶対値と偏角も再構成できます。
• 定義、微分方程式、初期値はNIST DLMF §9.2（https://dlmf.nist.gov/9.2）、べき級数は§9.4（https://dlmf.nist.gov/9.4）、積分表示は§9.5（https://dlmf.nist.gov/9.5）、複素漸近展開とsectorは§9.7（https://dlmf.nist.gov/9.7）を2026年7月15日に照合しました。
• |z|≤12のbinary64複素Airy値です。任意精度、scaled値、零点保証は扱いません。

よくある質問