陪Legendre多項式Type A・Type Bを実部・虚部でグラフ計算

使い方

1. Type AまたはType B、整数次数n、位数m、−1〜1内のx格子を入力します。
2. ReとImの二列を確認します。Type Aは実数、Type Bは位数に応じて実軸・虚軸上へ回転します。
3. Condon–Shortley位相、Type、n、mを数値表と一緒に記録し、別ソフトの規約と照合します。

計算式・考え方

Type AはDLMF 14.3.1・14.6.1のFerrers関数 P_n^m(x)=(-1)^m(1−x²)^(m/2)d^mP_n(x)/dx^m です。負のmは14.9.3の階乗比を使い、Type Bは14.23.1の上側cut境界値 P_n^m(x+i0)=exp(−mπi/2)P_n^m(x) とします。

注意事項

• 参照ページはType AとType Bを同じページで選びますが、従来の実数一列だけではType Bの奇数mを表せません。本実装はRe/Im二列へ改善し、たとえばn=2,m=1,x=0.5のType Bを0+1.299038…iとして情報を欠かさず返します。
• 正のmはCondon–Shortley符号を含むP_m^mから次数nへ漸化します。負のmは階乗比を先に丸めず、Pの絶対値とlog-gamma差をlog領域で合成します。これによりn=128,m=−128の非常に小さい有限値を途中の0へ潰しにくくします。
• 端点x=±1ではm=0ならP_n(1)=1、P_n(−1)=(−1)^nです。m≠0は区間内部からの連続極限0を返します。Type Bの式を端点へ直接代入して0/0や無限大を作らず、グラフ端を欠損させない方針です。
• 次数nは0〜128、位数mは−n〜n、xは−1〜1に限定します。高次数では狭い間隔で符号が変わり、201点でも全振動を捉えられないことがあります。線の交点を厳密な零点やGauss求積節点として使わないでください。
• 複素値を実数部だけへ縮約すると、位相、共役関係、零点の情報が失われます。このページ群は複素数入力欄を設けず、規約から生じる複素出力をReとImの二つの有限実数として保持します。表、グラフ、TSVも同じ二列を使うため、虚数部が0でないケースを見落としません。
• 表示値はIEEE 754 binary64を基礎とする最大15桁の有効数字です。大きな値同士の差、原点に近い第2種Bessel成分、高次数の階乗比、振動の零点付近では相対誤差が増えます。研究、設計、規格適合の最終値には任意精度計算や独立した数表を併用してください。
• 計算は固定名の許可制関数と安全な宣言式ASTだけで行います。利用者が入力したコードをevalやnew Functionで実行せず、外部API、CDN、fetch、XMLHttpRequest、WebSocketも使いません。入力範囲、整数条件、標本数、最終点、有限性を検査し、安全に表せない値を推測で埋めません。
• 入力値と生成した数値列は利用者のブラウザ内だけで処理され、サーバーや第三者へ送信または保存されません。WordPress本文、追加CSS、追加JavaScriptで完結するローカル成果物として生成し、このbuilderから下書き作成、既存記事更新、本番公開は行いません。
• グラフは初期値から一定増分で作った最大201個の標本点を直線で結びます。点間を追加評価する補間曲線、零点探索、極値探索ではありません。高次数や大きい引数では標本間に複数回の振動が入るため、表を確認し、必要なら範囲を狭めて増分を小さくしてください。
• 関数名が似ていても、通常Bessel、球Bessel、Hankel、Ferrers、cut上のLegendre、球面調和関数では微分方程式、正規化、位相、定義域が異なります。比較結果を保存するときは、次数・位数、引数、Type A/B、角度単位、実部・虚部の列名を一緒に記録してください。
• ReとImを同じ縦軸へ描くと、片方の振幅が極端に大きい領域ではもう片方が0に近く見えます。これは小さい系列が計算されていないという意味ではありません。グラフの見た目だけで打切らず、代替表の指数表記とTSVの値を確認し、必要ならxまたはθの範囲を分割して比較してください。
• 第1種と第2種、Type AとType Bは画面上の選択値で明示的に切り替えます。未選択の式を同時評価しない遅延分岐を使うため、選んでいない枝の特異点や巨大な中間値が選択中の結果を壊しません。選択肢を変更した後は列見出しと式の説明も読み直してください。
• 入力境界は数値核が計算できる最大範囲ではなく、ページ内で一貫して検証できる公開範囲です。範囲外の値を丸めて境界へ押し戻したり、周期角を自動変換したり、非整数のnやmを整数へ四捨五入したりしません。入力ミスを別の有効な問題へ黙って変えることを避けます。
• 正常例、公開上限または端点の境界例、範囲外の不正例を各ページへ固定し、Python生成時とブラウザ実行時で同じ定義を検査します。さらに1024pxと375pxでグラフ、代替表、入力エラー、横はみ出し、実行時例外を確認し、生成物が変わった場合はbuild hashに結び付いた合格状態を失効させます。
• このツールの線は数学的な連続性や解析接続を証明するものではありません。途中に特異点、急峻な変化、非常に近い零点がある場合でも標本点しか評価しないため、用途に必要な刻み幅は利用者が対象式と誤差条件に合わせて判断してください。表示範囲を変えた結果も再計算して比較してください。
• 一次資料はNIST Digital Library of Mathematical Functions（DLMF）を2026年7月15日に照合しました。参照サイトの表示をそのまま複製せず、特異点を避ける下限、Re/Im分離、負増分、端点の連続極限、最大201点という安全な公開契約を明示しています。
• 指定した有界領域の倍精度標本です。任意精度、複素引数、零点保証、解析接続は扱いません。

よくある質問