カイ二乗分布の密度・下側累積・上側累積グラフ（自由度ν）

使い方

1. 確率密度f、下側累積P、上側累積Qから表示する関数を選び、自由度νを入力します。既定値はfとν=3です。
2. xの初期値、増分、点数を指定します。既定は0から20まで0.2刻みの101点で、原点と右裾を同時に確認できます。
3. 密度は山頂と右裾、Pは0から1への増加、Qは1から0への減少を確認し、同じ格子でTSVを比較します。

計算式・考え方

x>0、ν>0でf(x;ν)=x^(ν/2−1)e^(−x/2)/(2^(ν/2)Γ(ν/2))です。a=ν/2としてlog f=(a−1)log(x/2)−x/2−log 2−log Γ(a)を評価します。x=0はν>2なら0、ν=2なら1/2、0<ν<2なら+∞へ発散するため未定義セルです。P=P_reg(ν/2,x/2)、Q=Q_reg(ν/2,x/2)をそれぞれ直接評価します。

注意事項

• カイ二乗分布は独立な標準正規変数ν個の二乗和として現れ、整数自由度が典型ですが、Gamma分布の形状a=ν/2として正の実数νにも拡張できます。本ページは入力値を整数へ丸めません。自由度の定義が標本分散や適合度検定の設定と一致しているかは利用者が確認してください。
• NISTとSciPy公式式で、カイ二乗分布がshape=ν/2、scale=2のGamma分布に一致することを照合しました。本ページの式でx/2とlog 2を分けているのは、2^(ν/2)を直接作らず対数域で安定に計算するためです。位置母数や非心度は追加しておらず、非心カイ二乗分布とは別物です。
• ν=3の既定格子では原点の密度は0で、x=1付近から山を作って右へ長い裾が続きます。ν=1では原点だけが発散するため線を原点へ無理に接続しません。発散の形を見たいときはx初期値を0のままにし、正の細かい増分で第1点以降を確認してください。
• PまたはQを選ぶと各xの片側累積確率を読めますが、観測統計量の位置、検定の片側・両側、棄却域、有意水準を自動判定しません。密度の高さから有意性を判断せず、分析手法で指定された自由度と尾方向を確認してください。
• 下側Pは左側面積、上側Qは右側面積でP+Q=1です。極端な右裾ではQを選ぶとregularized_gamma_qを直接評価するため、表示済みのPを1から引くより有効桁を保ちやすくなります。
• 確率密度f(x)は一点の発生確率ではなく、連続分布の一点確率は0です。下側累積P(x)はX≤xの左側面積、上側累積Q(x)はX>xの右側面積で、同じxならP+Q=1です。fは密度、PとQは0〜1の確率なので、縦軸の高さを三つの関数間で直接比較しないでください。
• 標本番号i=0,…,n−1についてx_i=x初期値+i×x増分を評価します。線は隣接する有限標本値を視覚的に結ぶだけで、その間を追加計算したものではありません。山頂や急変部を詳しく見るときは範囲を狭めて刻みを細かくし、重要なxが格子へ含まれるように調整してください。
• 点数は端末負荷を一定に保つため1〜201点へ有界化しています。増分を負にすると同じ支持域を右から左へ確認でき、1点だけの評価も可能です。増分0と支持域外へ出る最終点は、重複表や無意味な延長を作らないよう送信前の項目エラーとして示します。
• 支持域端点で密度の極限が有限なら0または解析値を返します。一方、形状母数によって+∞へ発散する端点は最大値や大きな有限値へ置き換えず、そのセルを「未定義」として線を切ります。これは式の不具合ではなく密度関数の特異性であり、端点直後の正のxを含めると曲線の立ち上がりを確認できます。
• 密度は対数形で組み立て、最後にexpを一度適用します。xのべき、Gamma関数、尺度係数を先に巨大な積や商へするとオーバーフローしやすいためです。それでも倍精度より小さい裾は0へ丸まり得ます。0は必ずしも数学的に厳密な0ではないので、極端な尾の対数密度が必要な用途には使わないでください。
• 累積P・Qは正則化不完全GammaまたはBeta関数の安定な向きを直接評価します。小さい上側確率を常に1−Pだけで作ると、Pが倍精度で1へ丸まった時に有効桁を失います。Gamma系は専用Q、Beta系は引数と形状を入れ替えた対称式を使い、t分布はxの符号で小さい側を直接選びます。
• グラフが主結果ですが、色や形だけに依存しない同値の表を併記し、全行をTSVでコピーできます。数値照合では画像の高さではなく表のxと選択した関数値を正本にしてください。表示は最大15有効桁で、異なるライブラリ、CPU、母数範囲では丸め順によって末尾桁が異なる場合があります。
• 計算はschema v4のsampled-series-v1と許可制ASTを使い、各xを利用者の端末内で独立評価します。eval、new Function、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketは使用しません。入力値と生成系列は外部へ送信・保存されず、WordPressへの書込み、下書き作成、公開も行いません。
• 密度・累積・上側確率の式と母数化は2026年7月13日にNIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods、NIST Engineering Statistics HandbookおよびSciPy公式scipy.statsリファレンスで照合しました。参照ページの既定格子は保ちつつ、静止画像ではなく再計算できるSVG、表、TSVへ置き換えています。
• 指定した理論分布・母数の密度・累積グラフです。データへの適合、母数推定、仮説検定、医療・品質・監査上の結論を保証しません。

よくある質問