複合Simpson法の数値積分と収束表

使い方

1. 被積分関数を許可された式文法で入力し、暗黙の掛け算や未対応の関数名がないことを確認します。
2. 有限な下端aと上端bを異なる値で指定し、必要なページでは最大分割数・最大段数・基礎則を選びます。
3. 計算後は収束表の複数行、既知値、別方式を比較し、最大12有効桁のTSVを条件と一緒に保存します。

計算式・考え方

偶数分割n、刻みh=(b−a)/nとして、S_n=h[f(a)+f(b)+4Σf(a+(2j−1)h)+2Σf(a+2jh)]/3で積分を近似します。表はn=2から指定した最大分割数まで2倍ずつ増やします。

注意事項

• 複合Simpson法は、隣接する2小区間ごとに二次多項式を当てはめるNewton–Cotes公式です。十分滑らかな関数では全体誤差が概ねhの4乗で減るため、分割数を2倍にしたとき誤差が約1/16になる挙動を期待できます。ただし4階微分が大きい区間、不連続点、特異点ではこの次数は成立しません。内部では常に偶数分割を使い、2、4、8…と収束履歴を並べます。
• 既定式4/(1+x^2)を0から1まで積分するとπになります。最後の行をpiと比較すれば入力と実装を検算できます。Simpson値の差が急に増える場合は、狭いピークや振動を分割点が捉えていない可能性があります。最大分割数だけを増やす前にグラフを確認し、変化の大きい場所で区間を分ける方が効率的です。
• 数値積分は、被積分関数を有限個の点で評価して面積を近似する方法です。解析的な原始関数が分からない場合でも計算できますが、表示された桁すべてが正しいことを自動的に保証するものではありません。このページでは分割数または反復段階を増やした収束表を先頭に示します。最後の一行だけを見るのではなく、隣り合う行の差、別方式の結果、既知の積分値を比較し、目的の許容誤差に達したか判断してください。
• 入力できる関数式は変数x、定数piとe、四則演算、べき乗^、丸括弧、およびabs、sqrt、exp、ln、log、log10、sin、cos、tan、asin、acos、atan、sinh、cosh、tanh、floor、ceilです。暗黙の掛け算には対応しないため、2xではなく2*xと入力します。自然対数はln(x)またはlog(x)、指数関数はexp(x)またはe^xと書けます。式は200文字、128トークン、32段以内に制限されます。
• 関数式は安全な字句解析器と構文解析器で読み取り、許可された演算だけを逆ポーランド記法として評価します。JavaScriptのeval、new Function、外部API、CDN、fetch、サーバー側計算は使用しません。入力した式、区間、計算結果は利用者のブラウザ内だけで処理されます。未知の名前、代入、配列、プロパティ参照、セミコロン、文字列、ネットワーク命令は構文として受理されません。
• 積分区間は有限なaとbで指定し、a=bは幅が0で収束表の比較が成立しないため入力段階で拒否します。a>bも有効で、向きを反転した積分として結果の符号が変わります。端点や区間内部で関数が未定義になる式は、方式によって評価点が異なるためエラーになる場合があります。不連続点、極、平方根や対数の定義域境界が分かっているときは、その点で区間を分割して各部分を別々に積分してください。
• 表の数値はIEEE 754 binary64で計算し、画面とTSVでは最大12有効桁に整えます。参照元に22桁以上の表示があっても、同じ桁数を模倣すると計算精度以上の確かさを示すため採用していません。大きさの異なる項の和には安定した総和を使いますが、桁落ち、アンダーフロー、オーバーフロー、強い正負相殺を完全には除けません。任意精度や証明可能な誤差区間が必要な用途では、多倍長・区間演算の専用実装で再確認してください。
• 滑らかな関数では分割幅を半分にすると誤差の規則性が見えやすくなります。一方、端点特異性、微分不連続、鋭いピーク、高周波振動があると教科書的な収束次数が現れないことがあります。表の値が単調に真値へ近づく保証もありません。最大設定で一見安定していても、同じ符号の丸め誤差が残る場合があるため、変数変換、区間分割、別の求積則との比較を高精度化の手順に含めてください。
• 収束判定では絶対誤差と相対誤差を使い分けます。真値が0に近いと相対誤差は不安定なので絶対差を重視し、大きな積分値では差を代表値の大きさで割って尺度をそろえます。表の差が小さくなったことは推定値同士の一致であり、真の誤差の上界とは限りません。既知の対称性、正値性、単位、概算面積、被積分関数の上限下限も独立した検算として利用してください。
• TSVコピーは列見出しと表示順を保つため、表計算ソフトや検証スクリプトへ貼り付けられます。最大12有効桁の出力なので、転載時には方式名、関数式、区間、最大分割数または最大段数、基礎則、計算日を一緒に残してください。分割数だけを記録すると、台形則・中点則・Simpson則のどれを使った値か、区間の向きがどちらかを後から判別できません。
• この計算機は学習、実装確認、一般的な数値試算を対象とし、医療投与量、安全限界、法定値、金融取引の最終判断を直接保証するものではありません。入力式や単位を取り違えても数値だけは出る場合があります。重要な判断では、式の出典、入力データ、許容誤差、独立実装との一致をレビューし、結果を監査可能な形で保存してください。
• 複合台形・中点・Simpson公式、Romberg外挿、二重指数型Tanh–Sinhの一般的な定義と収束上の注意はNIST Digital Library of Mathematical Functions §3.5を2026年7月13日に照合しました。この実装は有限区間と有界な反復回数に限定し、適応分割、複素経路積分、無限区間の自動変換、誤差保証付き積分器の代替とはしません。
• binary64・最大12有効桁の有限反復による近似値です。誤差保証付き積分器ではありません。

よくある質問