一般化パレート分布の確率密度・累積確率・上側確率グラフ計算

一般化パレート分布の確率密度・累積確率・上側確率グラフ計算

位置μ、正の尺度σ、形状ξ、x格子を入力し、一般化パレート分布のPDF・下側CDF・上側確率を最大201点のグラフ、表、TSVで計算します。

入力

参照フォームと同じ実値0・1・2で1系列を選びます。密度fは曲線の高さ、PはPr(X≤x)、QはPr(X>x)です。

支持範囲が始まる下端です。本ページのx格子は全点をμ以上にします。

0より大きい広がりです。ξ=0では指数分布の尺度になります。

負なら有限上端、0なら指数尾、正なら重い無限尾です。

第0点のxです。-1e+06以上1e+06以下で、最終点も同じ範囲へ収まるよう刻みと点数を選びます。

隣り合う点の差です。正なら昇順、負なら降順です。0は同じxの重複列になるため使用できません。

初期値を第0点として数える1〜201点です。参照ページの繰返回数に対応し、端点を含みます。

使い方

  1. 最初に表示する一般化パレート分布の関数を選びます。確率密度f、下側累積P、上側累積Qは同じパラメータでも縦軸の意味が異なるため、比較目的に合う系列を1つ指定してください。
  2. 次に位置μ、0より大きい尺度σ、形状ξを入力します。単位を持つ値は互いに同じ単位へそろえ、形状パラメータは無次元として入力します。
  3. xの初期値、0以外の増分、1〜201点のサンプル点数を入力します。第i点はx_i=x初期値+i×増分で、負の増分なら右から左へ確認できます。
  4. 計算ボタンでグラフを描き、直後の表で代表点を含む全数値を確認します。必要ならTSVコピーを使い、表計算ソフトで再描画・差分検算してください。

計算式・考え方

y=(x−μ)/σ、t=1+ξyとします。x≥μかつt>0で、ξ≠0ならQ=t^(−1/ξ)、P=1−Q、f=Q/(σt)です。ξ=0ではQ=e^(−y)、P=1−Q、f=Q/σという連続極限を使います。

注意事項

  • 支持範囲はx≥μかつ1+ξ(x−μ)/σ≥0です。ξ<0では有限上端μ−σ/ξ、ξ=0とξ>0では上端がありません。本ページは格子の全点をμ以上に制限し、有限上端を越えた点はf=0、P=1、Q=0とします。
  • ξ<0は有限上端へ向かい、ξ=0は指数分布、ξ>0はべき型の重い裾です。平均はξ<1、分散はξ<1/2でのみ有限です。形状のわずかな差が極端な裾へ大きく影響します。
  • 第一種パレート分布とは母数の役割が異なります。一般化パレートは閾値μを超えた超過量のモデルとして使われ、ξ=0の分岐を式の極限として明示的に扱います。
  • ξ=0を別式に分岐し0除算を避けます。ξ<0の有限上端で密度が発散する母数では、無限大を有限値へ丸めず該当セルを未定義にして線を切ります。
  • 極値理論の閾値超過モデルを学ぶ用途に使えます。実務では閾値選択、独立性、時間変化、母数推定誤差、外挿距離が重要で、グラフだけから再現期間や安全値を断定できません。
  • 一般化パレート分布のグラフは連続関数そのものではなく、入力した有限格子を直線で結んだ表示です。急な立ち上がり、折れ点、有限端点、重い裾を調べるときは、その付近へx範囲を絞るか増分を小さくしてください。点数だけを増やしても調べたい区間が広すぎれば特徴を見落とします。
  • PとQは理論上P+Q=1です。本実装は小さい上側確率を1−Pだけで作らず、分布ごとの安定な式から直接計算します。深い裾でPが表示上1になっても、Qの列には倍精度で表せる小さい確率が残る場合があります。
  • 密度の高さは一点の確率ではありません。連続分布の区間確率は密度を区間で積分した面積です。尺度を小さくすると密度の峰が1を超えることがありますが、負でなく全支持範囲の積分が1なら確率密度として矛盾しません。
  • 同じ分布名でも資料やソフトによって尺度、率、位置、形状の記号と並び順が異なります。結果を引き継ぐときは名称だけでなく、このページの数式、支持範囲、P・Qの不等号、入力値を一緒に記録してください。
  • 式とパラメータ化はNIST公式Conditional Mean Exceedance資料およびNISTIR 5531を2026年7月13日に照合しました。GPDのCDF、正の尺度、t>0の支持条件、ξ=0の指数極限と形状符号の意味を確認しました。参照資料は定義の確認にのみ用い、計算時の外部通信は行いません。
  • 確率密度・累積分布・上側確率の一般的な意味はNIST/SEMATECH e-Handbook『Related Distributions』を2026年7月13日に確認しました。P=Pr(X≤x)、連続分布ではQ=Pr(X>x)=1−Pという約束で統一しています。
  • サンプル番号iを0から点数−1まで取り、x_i=x初期値+i×x増分で作ります。点数には初期値と最終点の両方を含みます。増分を負にするとxは降順になり、同じ関数を右から左へ確認できます。増分0は参照ページで表列が崩れるため明示的に拒否します。
  • 点数は1〜201へ有界化しています。線は隣接する計算点を視覚的に結ぶもので、点の間を追加評価した結果ではありません。急な折れ曲がりや飽和域を調べるときは、区間を狭めるか点数を増やし、重要なxが格子点に含まれるよう初期値と増分を選んでください。
  • グラフが主結果ですが、色や線だけに依存しない同値のデータ表を必ず併記し、全行をTSVとしてコピーできます。表のxと各系列値が正本で、グラフはその可視化です。スクリーンリーダーでは結果の要約、列見出し、行データの順に確認できます。
  • 式はschema v4のsampled-series-v1で各xを独立評価します。許可制ASTと既存named functionだけを使い、eval、new Function、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketへ接続しません。入力と生成系列は利用者の端末内だけで処理され、サーバーや第三者へ送信・保存されません。
  • グラフの形だけで学習性能、確率モデルの適合、工学現象の妥当性は判断できません。関数名、パラメータ、入力尺度、浮動小数点精度を合わせ、必要なら表の代表点を別実装と数値比較してください。低精度テンソルや量子化モデルでは倍精度の本ページと末尾桁や飽和開始位置が異なる場合があります。
  • 実数関数を有限格子で標本化した学習・検算用グラフです。モデル性能、統計的適合性、設計安全性を判定しません。

よくある質問

PDF・P・Qはどれを選べばよいですか？

曲線の形や最頻付近の高さはPDF、ある値以下の割合はP、ある値を超える割合はQを選びます。裾の小さい確率は対応するPまたはQを直接表示してください。

サンプル点数201を超えて細かくできますか？

1ページ内の描画負荷と表の可読性を守るため最大201点です。必要な区間へx範囲を絞って増分を小さくし、複数回に分けて確認してください。

表に未定義と出るのは故障ですか？

支持端点で密度が無限大になる場合や倍精度範囲を超える場合は、有限値へ偽装せず未定義のギャップにします。PとQが定義される端点では関数選択を切り替えて確認できます。

負の増分を使えますか？

使えます。最終点も許可範囲へ収まる必要があります。表は入力した順序を保つため、右側から左側へ分布を追う検算にも利用できます。

入力した数値と生成した系列は端末内だけで計算・表示されます。外部へ送信・保存せず、氏名、モデル名、測定データなどの個人情報・機密情報を入力する欄もありません。