ロジスティック分布の確率密度・累積確率を計算

使い方

1. 分布のパラメータ化と入力点の台を確認し、同じ単位の有限値を入力します。
2. 尺度の正値、区間順序、形状、整数性などのエラーがないことを確認して計算します。
3. 密度または質量、下側累積、上側累積を境界値や独立計算と照合して記録します。

計算式・考え方

z=(x-a)/bとしてF=1/(1+exp(-z))、S=1-F、f=F×S/bです。実装はzの符号で分岐し、expへ非正の引数だけを渡します。

注意事項

• ロジスティック分布は、実数全体を台に持ち、位置母数aを中心とする左右対称な連続分布です。このページは乱数を生成したり標本へ分布を当てはめたりせず、入力した一点で確率密度または確率質量、累積確率を決定的に評価します。グラフや配列ではなく、再検算しやすいスカラー結果だけを返します。
• 入力パラメータの意味は、尺度bは正で、同名のロジスティック回帰の確率出力とは用途を区別します。分布名が同じでも位置、尺度、rate、形状、成功までの回数の数え方が異なる実装があります。別のソフトウェアと比較するときは、記号だけでなく台、パラメータ化、端点の扱いまで一致させてください。
• 採用式は、z=(x-a)/bとしてF=1/(1+exp(-z))、S=1-F、f=F×S/bです。実装はzの符号で分岐し、expへ非正の引数だけを渡します。。PDFは連続分布の密度、PMFは離散点の確率です。CDFは入力点以下の確率を表し、上側の結果は各ページで明記した不等号の向きに従います。表示前の途中値を任意桁へ丸めません。
• 数値安定性は、z≥0ではexp(-z)、z<0ではexp(z)を使い、密度もexp(-|z|)/[b(1+exp(-|z|))²]で評価します。条件式は遅延評価されるため、選ばれなかった枝のexp、ln、power、除算は実行されません。倍精度で有限値を返せる範囲を入力契約として示し、危険な組合せを黙って近似値へ置き換えません。
• 定義域と境界では、x=aではF=S=0.5、密度は1/(4b)です。0、位置母数、区間端、最小尺度などは式が切り替わる重要な点です。境界値を単なる空欄の代用にはせず、意図してその点の確率関数を評価する場合だけ入力してください。
• 結果の読み方として、CDFは滑らかなS字形で、正規分布に似ながらやや重い裾を持ちます。確率密度は単位幅当たりの高さであり、連続分布の一点が起こる確率そのものではありません。区間確率が必要なときはCDFの差を使い、互いに同じパラメータの結果を比較します。
• 累積確率の規約は、尺度bを分母に置く位置尺度パラメータ化で、標準偏差そのものを入力する形式ではありません。連続分布では一点の確率が0なので厳密不等号と非厳密不等号の差はありませんが、離散分布では差がPMFになります。報告書にはF、S、P(X≥k)などの記号と不等号を一緒に記録してください。
• 式の確認には、NIST Dataplot公式LOGCDF仕様の標準密度・CDFと一般の位置尺度形を参照しました。NISTの公式HandbookまたはDataplot資料を一次・公的資料として参照し、密度、CDF、生存または上側累積、パラメータ制約を個別に照合しました。資料の掲載例とこのページの入力上限は目的が異なります。
• 通常点の検算例は、a=1、b=2、x=3ではz=1となり、Fは約0.731、Sは約0.269です。さらにCDFと連続分布の上側確率の和、密度または質量の非負性、端点での厳密値を確認します。通常点、境界点、異常入力を同じテストへ混ぜず、それぞれ独立した期待結果で評価します。
• 入力欄は有限の10進数だけを受け付けます。空欄、数値でない文字列、NaN、正負の無限大、宣言範囲外の値は計算前に拒否します。さらに尺度の正値、区間の順序、台の下端、整数性など複数欄の関係はconstraintsで検証します。
• CDFは数学上0以上1以下で単調非減少、上側確率は単調非増加です。ただし丸められた表示値だけを再利用するとF+Sが末尾桁で1からずれる場合があります。内部では表示用丸め前の倍精度値を使い、最大十五桁の有効数字で結果を整形します。
• このページのリスク区分はR1で、公開前の人手確認を必須とします。分布式は静的でも、確率値を予測の確実性、品質保証、故障保証、医療判断、投資判断へ直接読み替えると誤解が生じます。重大な判断にはデータ品質、モデル適合性、不確実性を別途評価してください。
• この計算は分布の当てはまりを証明しません。標本からの最尤推定、ベイズ推定、信頼区間、適合度検定、打切りデータ処理、混合分布、乱数生成、グラフ描画は対象外です。必要なら同じパラメータ化を保った統計ソフトウェアで追加解析してください。
• 比較対象が表計算、統計ライブラリ、論文の式である場合、scaleとrate、分散と標準偏差、0始まりと1始まりを先に確認します。同じ記号aやbでも資料ごとに役割が違います。結果だけが不一致なら、定義域、端点、尾部の不等号、表示桁の順に確認すると原因を切り分けやすくなります。
• 再現性のため、計算日時、地域、通信状態、乱数、外部APIに依存しません。入力値、分布名、パラメータの意味、式の版、表示桁を一緒に保存すれば、後から同じASTで再計算できます。外部資料のURLが変わっても計算式そのものは端末内で完結します。
• 結果が0または1に丸められて見える場合、必ずしも異常ではありません。入力点が裾の深い位置にあると倍精度で表せる最小差より小さくなることがあります。反対側の尾部を1-CDFで作り直さず、このページが直接計算した小さい側の結果を優先して確認してください。
• 単位は入力者が統一します。位置、尺度、区間端、入力点は同じ物理単位でそろえ、形状や確率は無次元です。異なる単位を混ぜると式は数値を返しても意味がありません。単位変換を行った場合は全ての同次元入力へ同じ基準を適用してください。
• 倍精度の一点評価による学習・検算用の確率関数です。分布適合性、予測精度、安全性、品質、将来事象を保証せず、重大な判断には単独で使用できません。

よくある質問