対数正規分布の確率密度・下側P・上側Qを計算

x≥0、ln(X)の平均μと正の標準偏差σから、2パラメータ対数正規分布のPDF、下側累積P、上側累積Qを計算します。

使い方

2パラメータ対数正規分布のパラメータ化と各入力の単位を確認し、有限の値を入力します。
累積モードがあるページでは下側Pまたは上側Qを先に選び、その記号に対応する確率を一つの欄へ入力します。
「計算する」を押し、結果の記号、支持範囲、境界条件を数式欄と照合します。
統計ソフトと比較するときは、location・scaleの定義、自然対数、下側・上側の向きを揃えます。

計算式・考え方

x>0でz=(ln x−μ)/σ、f(x)=exp(−z²/2)/(xσ√(2π))、P=Φ(z)、Q=Φ(−z)。x=0ではf=P=0、Q=1です。

注意事項

2パラメータ対数正規分布は、支持範囲はx≥0で、ln(X)が平均μ・標準偏差σの正規分布に従う2パラメータ形です。このページは一つの点または一つの区間を決定的に評価するスカラー計算機です。グラフの見た目や乱数標本から値を読み取らず、入力した数値から式どおりに結果を返します。
パラメータの意味は、μとσはXそのものではなく自然対数ln(X)の平均と標準偏差で、中央値はexp(μ)です。同じ分布名でも文献や統計ソフトによって記号、scaleとrate、標準偏差と分散、locationの有無が違います。数値だけを移さず、このページのラベルと数式を同時に確認してください。
採用式は、x>0でz=(ln x−μ)/σ、f(x)=exp(−z²/2)/(xσ√(2π))、P=Φ(z)、Q=Φ(−z)。x=0ではf=P=0、Q=1です。。標準正規分布への変換を明示し、共有named functionのstandard_normal_cdf、standard_normal_sf、standard_normal_quantileを用途別に使います。ページ固有の近似係数や外部ライブラリ呼び出しは埋め込みません。
下側累積Pと上側累積Qは連続分布の補数で、このページでは裾の桁落ちを減らすため標準正規CDFを符号反転した引数にも直接使います。表示値を丸めた後はP+Qが末尾桁で1からわずかにずれる場合があります。
境界と数値安定性について、x=0ではln(0)を評価せず遅延ifで(密度,下側,上側)=(0,0,1)を返します。if演算は遅延評価されるため、境界で不要なln、平方根、除算、指数を先に計算しません。密度の極小値を別の正の値へ置換せず、倍精度で実質的に消える場合は0として扱います。
確率入力は有限出力と通常のdecimal入力欄に合わせ、一般分位点では1e-15以上1−1e-15以下に限定します。レヴィ分位点は内部でp/2を取るため下側pを2e-15以上にします。これより極端な尾部には対数確率を直接扱う専用engineが必要です。
結果の読み方は、右に長い裾を持つ正の分布で、算術平均はexp(μ+σ²/2)、最頻値はexp(μ−σ²)です。確率密度は無次元の確率そのものではなく、横軸の単位の逆数を持つ高さです。累積確率と分位点は指定した分布・パラメータが正しいという条件付きの値です。
代表的な確認例は、x=e、μ=0.5、σ=0.5ならz=1となり、下側Pは約0.841345です。通常点だけでなく、支持端または中央値などの境界、定義域外の尺度・確率・入力順序を独立ケースとして固定し、式の向きや補数の取り違えを検出します。
式の照合には、NIST/SEMATECH e-Handbook『Lognormal Distribution』のμパラメータ化PDF・CDFを使用しました。NISTとSciPyの公式資料はPDF、CDF、percent point、location-scale変換の根拠として参照し、本文、FAQ、入力範囲、例題はこの実装向けに独自作成しています。
対象外は、位置シフト付き3パラメータ形、打切り寿命推定、信頼限界、適合度検定は含みません。標本データへ分布が適合するか、パラメータ推定が十分か、外れ値や打切りをどう扱うかは別問題です。研究、品質保証、金融、医療、安全に関わる判断はこの一点計算だけで完結しません。
計算はschema v3のdeclarative-v1 ASTでブラウザ内だけに閉じ、外部API、CDN、fetch、WebSocket、日時、乱数、端末固有状態を参照しません。同じ有限入力と同じruntimeからは同じ結果が得られ、入力値をサーバーへ送信しません。
表示は最大十五桁の有効数字で整えますが、途中式は表示桁へ丸めません。末尾桁の差は倍精度、CDF実装、補数の評価順によって起こり得ます。重要な再現では使用runtime、入力値、累積モード、丸め前の数値を保存してください。
リスク区分はR1で公開前の人手確認を必須とします。分布モデルは個別結果を保証せず、PDFや分位点だけから因果関係、合否、故障時期、投資成果、診断を断定できません。目的に応じてデータ品質とモデル適合を別途確認してください。
指定した分布とパラメータを仮定する一点計算です。モデル適合、推定誤差、個別結果を保証しません。

よくある質問

下側累積Pと上側累積Qはどう使い分けますか？

Pは基準値以下の確率、Qは基準値以上の確率です。連続分布ではP+Q=1です。分位点ページでQを選ぶと内部ではp=1−Qへ変換するため、例えば上側0.025と下側0.975は同じ点を返します。

確率0や1、さらに極端な尾部を入力できないのはなぜですか？

無限支持分布の端点は無限値へ向かい、通常のdecimal入力と倍精度では有限な結果を安定して表せません。極端尾部を扱う分析では、確率そのものではなく対数確率や専用のsurvival/inverse-survival engineを使用してください。

PDFの値はその点が起きる確率ですか？

連続分布では一点の確率は0で、PDFは曲線の高さです。有限区間の確率は両端CDFの差で求めます。密度が1を超えても積分面積が1なら確率分布として矛盾しません。

他の統計ソフトと末尾桁が違うのはなぜですか？

標準正規CDF・分位点のアルゴリズム、補数を取る順序、パラメータ化、入力の丸め、表示桁が異なるためです。まず下側・上側の向きとlocation/scaleの定義を揃え、実用上必要な許容誤差で比較してください。

計算結果だけでデータの分布を決められますか？

決められません。この計算は指定済みの分布とパラメータから一点の関数値を返すものです。実データの分布選択には可視化、適合度、推定誤差、外れ値、打切り、依存性を含む別の解析が必要です。

入力した2パラメータ対数正規分布の値、パラメータ、累積モード、確率は端末内だけで計算され、外部へ送信・保存されません。個人識別情報や生の標本データを入力する欄はありません。