ポアソン分布の累積確率から平均λを逆算

使い方

1. 下側累積P(X≦x)からλを逆算する非負整数xを入力します。
2. 上側累積P(X≧x)からλを逆算する1以上の整数xを入力します。x=0では上側確率が常に100%なので除外します。
3. 共通の目標累積確率を0%より大きく100%未満で入力します。
4. 計算ボタンを押し、下側条件と上側条件それぞれに対応する平均λと再計算した累積確率を確認します。

計算式・考え方

下側はλ_P≧0についてP(X≦x_P;λ_P)=q、上側はλ_Q≧0についてP(X≧x_Q;λ_Q)=qを数値的に解きます。X~Poisson(λ)の累積確率を対数領域で評価し、λを0から100,000の範囲で二分探索します。下側CDFはλとともに減少し、x≧1の上側累積はλとともに増加します。

注意事項

• このページは発生回数xと累積確率qから、ポアソン分布の平均パラメータλを逆算します。通常の分布ページがλから確率を求めるのに対し、ここでは確率条件を満たすλを数値探索するため、用途と入力の向きが逆です。
• 下側と上側は同じx・qでも別のλになります。x=3、q=50%では、P(X≦3)=50%となるλは約3.67206、P(X≧3)=50%となるλは約2.67406です。上側は3回ちょうどを含むため、単純な補集合では同じ値になりません。
• 上側入力x=0ではP(X≧0)=100%がλによらず成立し、0%より大きく100%未満のqに対応する解がありません。そのため下側xは0を許可し、上側xは1以上の別入力に分け、定義域をフォーム上で明確にします。
• x=0、q=50%の下側はP(X=0)=exp(−λ)=0.5なのでλ=−ln(0.5)≈0.693147です。上側x=1、q=50%も1−exp(−λ)=0.5となり同じ値です。この境界例をPythonと生成JavaScriptの回帰テストに保存します。
• 逆算したλは、観測データから統計的に推定した平均の信頼区間ではありません。指定した累積確率条件へ一致するモデルパラメータです。実測回数から発生率を推定する場合は、観測区間数、総露出量、標本変動を含む推定法を使ってください。
• 設備容量や安全在庫へ応用する場合、下側・上側のどちらを制御するか、端点を含むか、λの時間変動をどう扱うかを先に定義します。数値解だけで供給不足、事故、品質、医療上の安全を断定せず、損失と安全余裕を別に評価します。
• 累積確率0%または100%では有限解が存在しない、または境界で一意でない場合があるため除外します。極端なqでは入力の小さな違いがλへ大きく影響することがあり、重要用途では検証済み統計ソフトでも再計算してください。
• 探索は累積確率の単調性を使い、上限を広げて解を挟んだ後、80回の二分探索を行います。表示は有効桁へ丸めますが、結果欄には得たλで累積確率を再評価した値も示し、入力qと一致することを検算できます。
• 数式と平均・標準偏差の定義は、米国NIST/SEMATECH e-Handbookの確率分布資料（1.3.6.6.19 Poisson Distribution、2026年7月12日確認）と照合しました。参照先は式の根拠であり、このページの日本語説明、入力設計、例、FAQ、コードはalfa-tools向けに独自作成しています。
• 離散分布では、整数xちょうどの値を確率質量、x以下を下側累積確率、x以上を上側累積確率として区別します。上側をxより大きい確率と解釈すると1項ずれるため、このページは『以上』を含む定義を結果ラベルと式の両方へ明記します。
• 内部計算は各項をそのまま掛け続けず、対数領域で確率を加算します。必要に応じて平均に近い側とは反対の短い裾を計算し、1との差にはexpm1相当の処理を使います。大きな階乗のオーバーフローと、1に近い累積確率の桁落ちを抑える設計です。
• 入力上限はブラウザを固めないための実行上限です。二項分布の試行数は100,000回、ポアソン分布のカウントは1,000,000、平均λは100,000までに制限します。任意精度の研究計算や極端な裾確率が必要な場合は、検証済み統計ソフトと多倍長計算を併用してください。
• 結果は入力した確率モデルのもとでの値であり、現実の抽選、故障、来客、品質、事故を保証しません。独立性、成功率の一定性、発生率の一定性などの仮定が崩れると、数値を細かく表示してもモデル誤差は小さくなりません。
• 計算は入力端末のブラウザ内だけで行い、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocket、eval、new Functionを使いません。入力した試行条件や観測値は送信・保存されず、WordPressには本文、追加CSS、追加JavaScriptの静的成果物として配置できます。
• 教材や検算では、まず小さな整数で全事象を数え、次にこの結果と照合すると定義のずれを見つけやすくなります。業務判断では、観測期間、母集団、欠測、測定単位、データ生成過程も記録し、確率だけで結論を固定しないでください。
• 表示は確率をパーセントへ換算して読みやすく丸めますが、内部では0から1の丸め前の値を使います。別のソフトと末尾が違う場合は、上側が端点を含むか、入力が百分率か割合か、どの段階で丸めたかを確認してください。結果のコピー時にもラベルと単位を一緒に残すと再検算しやすくなります。
• 正常ケース、平均0または成功率0の境界ケース、負数や範囲逆転の異常ケースを定義内へ保存し、Python側と生成JavaScript側で同じ式を評価します。公開候補はデスクトップ幅と375px幅の実プレビューへ全ケースを入力し、エラー表示、横はみ出し、実行時例外も一括確認します。
• 指定した確率モデルの計算です。現実の当選、発生、品質、将来結果を保証しません。

よくある質問