実矩形行列の1・2・Frobenius・無限大ノルムを計算

使い方

1. ページ先頭の『行列A』へ、行列の4種類のノルムで計算したい実数行列を貼り付けます。1行を行列の1行として、成分は空白または半角コンマで区切り、各行の列数をそろえます。
2. 行数・列数、負号、小数点、指数表記を確認します。正方行列が必要なページでは行数と列数を一致させ、矩形対応ページでは不要なゼロ行やゼロ列を追加しません。
3. このページには許容誤差の設定欄はありません。行列式は入力値から直接評価し、ノルムの特異値反復は倍精度に合わせた固定の有界収束判定で計算するため、入力スケールと有限桁を確認します。
4. 計算後は結果表の行列名または指標、行、列、値を確認し、元の式へ代入した残差、既知の小さな例、単位行列やゼロ行列などの境界例と照合します。
5. 必要なら見出し付きTSVをコピーし、元の入力、計算条件、計算日、使用目的と一緒に保存します。重大な用途では独立した数値ライブラリでも再計算してください。

計算式・考え方

||A||₁=max_j Σ_i|a_ij|、||A||₂=σ_max(A)、||A||F=√(Σ_iΣ_j|a_ij|²)、||A||∞=max_i Σ_j|a_ij|です。2ノルムは特異値計算、Frobeniusノルムはスケール付き二乗和で評価します。

注意事項

• 行列ノルムは行列の大きさを一つの非負数で表しますが、種類によって着目点が違います。1ノルムは列ごとの絶対値和の最大、無限大ノルムは行ごとの絶対値和の最大です。Frobeniusノルムは全成分を一列に並べたユークリッド長さに相当し、2ノルムはベクトル2ノルムを最も増幅する倍率です。
• 2ノルムは最大特異値σ_max(A)であり、各成分の二乗和の平方根ではありません。後者はFrobeniusノルムです。矩形行列でも四種類すべて定義できるため、正方行列へゼロを追加して形を変える必要はありません。本ページは参照仕様どおり1、2、F、∞の四行を同じ表へ返します。
• A=[[1,-2,3],[-4,5,-6]]なら、1ノルムは各列和5、7、9の最大で9、無限大ノルムは各行和6、15の最大で15、Frobeniusノルムは√91です。2ノルムはAの最大特異値を数値的に求めます。手計算値と比較するときは、絶対値の取り忘れと行・列の取り違えに注意してください。
• Frobeniusノルムを単純に各成分の二乗へ加算すると、非常に大きい成分で途中があふれ、小さい成分だけならアンダーフローすることがあります。DLANGEの考え方に沿うスケール付き二乗和を使い、有限な範囲で安定に評価します。表示の丸めは最後に行い、丸めた成分から再計算しません。
• 2ノルムの特異値計算には反復と収束判定が必要です。本ページでは利用者設定を置かず、倍精度の機械精度に合わせた固定閾値と最大反復回数を使います。収束しない場合は近似値を確定表示せず、入力スケールを見直すか、安定したSVDを持つ専門環境へ切り替えてください。
• ノルムは誤差評価や条件数の構成要素に使えますが、異なる種類を分子と分母で混ぜると不等式の意味が変わります。他の資料と比較するときは、単に『ノルム』とだけ書かず、1、2、F、∞のどれかを記録してください。ゼロ行列だけが四つすべて0になり、負のノルムは生じません。
• 入力は実数だけを含む行列です。1行が行列の1行に対応し、成分は空白または半角コンマで区切ります。空行は前後だけを無視し、途中の空行、列数の不一致、数値以外の文字、NaN、Infinity、指数表記として解釈できない断片は暗黙に補正しません。表計算ソフトから貼り付ける場合も、貼り付け後に行数・列数と負号、小数点、桁区切りの有無を確認してください。
• このページは可変サイズを扱いますが、ブラウザーを停止させないよう成分数と文字数を有界にします。大きな疎行列を密行列として貼り付ける用途や、数千行規模の科学計算を置き換えるものではありません。上限を超える行列は途中まで計算せず、入力エラーとして停止します。大規模計算ではLAPACKを利用する科学計算環境など、目的に合う専門ソフトを使用してください。
• 計算はIEEE 754の倍精度相当で行います。おおむね15〜16桁の有効数字を持ちますが、入力した全桁が正しい結果として保存される意味ではありません。参照ページにある最大50桁表示をそのまま再現したとは表示せず、本ツールでは最大有効桁と丸め誤差を明記します。非常に大きい値と小さい値を混在させると有効桁が失われるため、必要なら単位や尺度をそろえてください。
• 部分ピボットは各消去段階で候補列の絶対値が大きい行を選び、ゼロまたは極端に小さい割り算を避ける手順です。多くの一般行列で安定性を改善しますが、すべての悪条件を解消する保証ではありません。行交換が起きた場合は置換情報を計算へ一貫して反映し、行列式の符号、右辺の並べ替え、Lの既計算部分にも同じ交換規約を適用します。
• このページには利用者が変更する許容誤差欄を置きません。行列式は倍精度の有限値として直接評価し、ノルムの特異値反復は機械精度に合わせた固定閾値と最大反復回数で有界に処理します。設定値を変えて結果を合わせる操作は行わず、入力の尺度、既知例、独立実装との比較で妥当性を確認してください。
• 検算では結果の見た目だけでなく、元の式へ戻した残差を確認します。逆行列ならA A⁻¹−I、LU分解ならP A−L U、連立方程式ならA x−bが対象です。行列の大きさが変わると同じ絶対残差でも意味が変わるため、必要に応じて入力と結果のノルムに対する相対的な大きさも見ます。残差が小さいことは有力な確認ですが、悪条件問題の真の解に近いことを単独で保証しません。
• 結果表の行番号と列番号は1から始めます。行列名、行、列、値の各列を持つ表は、見出しを含むTSVとしてコピーできる設計です。画面幅が狭い場合は横スクロールしても列の意味が失われないよう固定した見出しを使います。コピー後に並べ替えると行列の形が変わるため、元の行・列番号を残し、入力、計算条件、計算日も一緒に記録してください。
• 正方行列が必要な計算へ矩形行列を入れたり、係数行列と右辺の行数が違ったりする場合は実行しません。足りない成分を0で埋める、余分な列を捨てる、右辺を繰り返すといった推測は結果を別問題へ変えてしまうためです。エラーが出たら、各行の成分数、末尾の区切り文字、全角記号、貼り付け時の改行を見直してください。
• 一次資料としてNetlib LAPACKのDGETRF、DGETRI、DGESV、DLANGE、DGESVDとLAPACK Users' Guideの一般連立方程式の説明を2026年7月14日に照合しました。これらは実装方針と検算規約の根拠であり、ブラウザーから資料へ通信して計算する仕組みではありません。資料名と確認日は本文に残し、URLは配布定義ではなく別の監査記録で管理します。
• 入力検査、数値計算、表の描画、コピー用TSVの生成はclient-onlyでブラウザー内だけで完結します。行列や右辺をサーバー、外部API、外部CDNへ送信せず、数値ライブラリを実行時に取得しません。そのため最新データを自動取得する機能もありません。共有端末、画面共有、ブラウザー拡張、クリップボード履歴、貼り付け先の保存設定は利用者側で管理してください。
• 教育目的では、まず2×2や3×3の手計算可能な例で操作し、次に行交換が起きる例、ゼロ行を含む例、ほぼ従属な例を試すと違いを確認できます。通常例だけでなく、1×1、ゼロ行列、単位行列、対角行列、特異行列という境界を分けて扱ってください。エラーを回避するため値を少し変えるのではなく、なぜ計算が定義できないかを式から確認することが重要です。
• 本ツールは入力した数学問題を計算するもので、測定値の品質、モデルの妥当性、単位系、座標系、境界条件を判定しません。構造設計、制御、電気、医療、金融など重大な判断へ使う場合は、独立した実装、専門家のレビュー、既知解、残差、感度解析を組み合わせてください。表示値を根拠に安全率や判定基準を自動で決める機能はありません。
• 倍精度浮動小数点による補助計算です。2ノルムは数値的に求めた最大特異値であり、極端なスケールや悪条件では丸め誤差を含みます。

よくある質問