Gamma関数の逆数1/Γ(x)を最大201点でグラフ・表計算

使い方

1. xの初期値、増分、点数を入力します。既定値は−3から7まで0.1刻みの101点です。
2. 表で−3、−2、−1、0が0、x=1と2が1、x=3が1/2になることを確かめます。
3. 負側の符号変化と零点をグラフで確認し、Gammaそのものの極グラフと混同しないよう列名を残してTSVをコピーします。

計算式・考え方

x>0では1/Γ(x)=exp(−logΓ(x))、x<0の非整数では反射公式からsin(πx)Γ(1−x)/πを計算します。Gamma関数が極を持つx=0,−1,−2,…では逆数は連続に0となるため、未定義ではなく正確な0を返します。

注意事項

• NIST DLMF §5.2で1/Γ(z)が整関数で非正整数に単純零を持つこと、§5.8.2の逆Gammaの無限積、§5.5の反射公式を2026年7月13日に確認しました。Gammaの極を機械的に割ってNaNにせず、数学的な逆Gamma関数として零点を明示します。
• 逆Gamma関数は「Gamma値を計算してから1で割る」だけではありません。Γ(x)がオーバーフローする正の大きなxでも1/Γ(x)は非常に小さい有限値になり得ます。本ページは正側で−logΓを先に指数へ戻すため、中間の巨大なΓを作らず、アンダーフローした場合は0に近い倍精度表現になります。
• 非正整数ではΓが有限値を持たない一方、1/Γは0を持ちます。したがってGammaページはその点で線を分断しますが、このページは0を通って連続に描きます。例えば1/Γ(−1/2)=−1/(2√π)、1/Γ(−3/2)=3/(4√π)で、零点を挟むたびに符号が交互に変わります。
• 負の非整数では1/Γ(x)=sin(πx)Γ(1−x)/πを使い、Gamma側と同じpositive_log_gammaを正の1−xへ適用します。sin(πx)は整数の近くで小さくなるため、格子丸めを考慮して非正整数から1e−12以内は正確な0へ置きます。零点の極近傍の微小値を研究する用途では、この許容幅を持たない任意精度実装が必要です。
• 逆GammaはGamma分布の逆数や正規化係数の一部に現れますが、このページは関数そのものの数値表です。確率密度や尤度を自動的に計算せず、パラメータの定義域や単位も検証しません。応用式へ転記するときは1/Γ(x)なのか1/Γ(x+1)なのかを確認し、入力のずれと丸め桁を記録してください。
• サンプル番号i=0,1,…,点数−1に対し、x_i=初期値+i×増分を端末内で生成します。点数には両端を含み、負の増分なら降順です。増分0は同じxの重複になるため拒否し、点数は処理量と表の長さを抑えるため1〜201に限定します。最終点が許可範囲から外れる組合せも入力欄の近くで知らせます。
• 折れ線は隣接する標本点を結んだ表示であり、点間を追加評価した連続曲線そのものではありません。極、零点、急変部を調べるときは刻みを小さくし、重要なxが格子点に入るよう初期値を調整してください。未定義点は有限値へ置き換えず表で未定義とし、線を分断するため、極をまたぐ線が描かれることを避けます。
• グラフの下には同じ計算結果の表を置き、全行をTSVとしてコピーできます。図の高さや線色だけで値を判断せず、列見出しと表の数値を正本として確認してください。非常に大きい値と小さい値が同居すると小さい変化が見えにくくなるため、区間を分けた再計算が有効です。表示桁は読みやすく丸めますが、内部計算はJavaScriptの倍精度です。
• schema v4のsampled-series-v1と許可制ASTだけで各点を評価します。eval、new Function、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketを使わず、入力値も生成系列もサーバーや第三者へ送信・保存しません。数式の確認と学習、実装の代表点比較を目的とし、任意精度計算や複素数計算を代替するものではありません。
• 有限個の実数標本による学習・検算用グラフです。複素数、任意精度、理論証明を扱いません。

よくある質問