Bernoulli数 B_n を既約分数で正確に計算

使い方

1. 0以上34以下の整数nを入力します。
2. B_nの近似値と既約分数の分子・分母を確認します。
3. B1の符号、奇数項、既知の分数で検算します。

計算式・考え方

t/(e^t−1)=Σ_(n=0)^∞B_n t^n/n!でBernoulli数を定義し、B0=1、B1=−1/2、奇数n>1ではB_n=0です。

注意事項

• NIST DLMF §24.2を2026年7月13日に照合しました。このページは母関数t/(e^t−1)から得られる規約を採用し、B1=−1/2です。文献やソフトによってB1=+1/2を使う場合があるため、最初に符号を確認してください。
• Bernoulli数は一般に有理数です。小数表示だけでは循環小数や丸めで厳密値を復元できないため、既約分数の分子と分母も別々に表示します。B4=−1/30、B12=−691/2730、B14=7/6が代表例です。
• B3,B5,B7,…の奇数番は0です。ただしB1だけは例外で−1/2です。入力を奇数だからすべて0と判断するとB1で誤るため、生成関数と初期値を組み合わせて覚えると安全です。
• 上限34は任意ではなくJavaScript安全整数から決めています。B34=2577687858367/6は分子・分母とも安全ですが、次の非零B36は分子が2^53−1を超えます。B35だけを例外的に0として許可せず、連続した検証範囲を34で止めます。
• Bernoulli数はべき和のFaulhaber公式、Euler–Maclaurin総和公式、ゼータ関数の偶数値に現れます。確率論のBernoulli分布やBernoulli試行とは名前の由来が同じでも別の対象です。用途の式が数列B_nを要求していることを確認してください。
• このページは一組の入力から一つまたは少数の代表値を求めるスカラー計算機です。連続区間の形を調べるグラフ版とは目的が異なり、教科書の例題、実装テスト、数表の一点を落ち着いて照合できます。同じ記号でも符号規約、解析接続、上昇階乗と下降階乗の違いがあるため、結果だけでなく本文の定義式を先に確認してください。
• 計算は利用者のブラウザ内だけで完結し、入力値を外部APIやサーバーへ送信しません。eval、new Function、fetch、XHR、WebSocketを使わず、コード側で許可した有界named functionだけを呼び出します。反復回数、整数上限、有限性を検査し、範囲外や未定義点を都合のよい近似値へ置き換えません。
• JavaScriptの数値はIEEE 754 binary64で、整数を常に厳密に表せるのは絶対値2^53−1以下です。Bernoulli数とStirling数はこの安全整数境界から入力上限を決めています。画面表示は最大15桁へ整形されるため、16桁の安全整数は科学表記で末尾が丸められる場合がありますが、内部のnamed functionとテストoracleは安全整数として厳密です。
• 検算ではcanonical既定値だけでなく、0、端点、符号が変わる点、最初の未許可値を分けて確認します。漸化式を使う整数列は隣接行を独立DPと比較し、ゼータ関連関数は高精度mpmath、Bernoulli数は既約Fraction、Pochhammerは直接積と照合します。異なる方法が同じ丸め値を返すことを確認してから利用してください。
• 入力欄は有限値と整数条件を検査し、エラーがあれば対象欄へフォーカスを戻します。0と未定義、非常に小さい非零値、近似小数と厳密整数を区別します。結果をコピーするときは関数名、入力、採用した規約、確認日も一緒に記録すると、別の資料やソフトウェアで条件を復元しやすくなります。
• この計算結果は学習、数表作成、プログラムの単体テストを補助するものです。有限範囲の一つの値から、関数全体の収束、零点の個数、解析的性質を断定しないでください。証明、任意精度、複素変数が必要な用途では、NIST DLMFなどの一次資料と多倍長実装を併用し、用途に必要な誤差基準を別途定めてください。
• 有界な実数・安全整数の学習と検算用です。任意精度、複素変数、範囲外の解析接続は扱いません。

よくある質問