2次元標準正規分布の確率密度・右上同時確率

使い方

1. 第1・第2変量をそれぞれ平均0・標準偏差1へ標準化した点x、yとして入力します。元の単位値を直接入れません。
2. 相関係数ρを−1より大きく1より小さく入力します。標本相関を使う場合は推定誤差が別にあることを確認します。
3. 計算後、一点の高さである同時密度と、右上領域の面積Pr(X>x,Y>y)を区別して読みます。
4. ρ=0ではf=φ(x)φ(y)、Q=Φ̄(x)Φ̄(y)になることを検算し、正・負相関で右上確率がどう変わるか比較します。

計算式・考え方

平均0、各分散1、相関ρの2変量(X,Y)について、f(x,y;ρ)=exp{−(x²−2ρxy+y²)/[2(1−ρ²)]}/[2π√(1−ρ²)]です。上側QはQ(x,y;ρ)=∫[x,∞]∫[y,∞]f(u,v;ρ)dvdu=Pr(X>xかつY>y)で、片方だけを超える和集合ではありません。

注意事項

• 上側確率は『Xがxを超え、かつYもyを超える』共通部分です。Pr(X>xまたはY>y)、Pr(max(X,Y)>しきい値)、半径が一定以上の確率とは異なり、原点からの距離だけでは一般に決まりません。
• ρ=0では2変量正規の2成分が独立なので、共有関数は数値積分へ進まず標準正規PDF・SFの積を厳密な分岐として使います。参照ページ利用者が報告していたρ=0の不整合を避け、xとyを交換しても同じ値になる対称性も保ちます。
• |ρ|=1では共分散行列の行列式が0になり、2次元密度は通常の面積密度として定義できません。特異な1次元極限へ黙って置換せず、入力を−1<ρ<1へ限定します。境界へ近いほど数値条件も悪くなります。
• x・yは標準化済みの値です。元の変量A、Bならx=(A−μA)/σA、y=(B−μB)/σBとし、σA・σBは正でなければなりません。本ページは平均・標準偏差を推定せず、標準化後の数学的確率だけを返します。
• NISTの多変量正規分布定義とDataplot BVNCDFを照合し、共分散行列[[1,ρ],[ρ,1]]の正定値条件を採用しました。上側は下側CDFそのものではなく、右上領域を直接または安定な対称変換で評価します。
• 2次元標準正規分布の同時密度・右上確率計算は、指定した数学的定義をbinary64で近似する学習・検算用ツールです。表示は最大有効数字15桁ですが、末尾まで正しい任意精度計算を意味しません。6〜50桁などの固定桁数を精度保証として装わず、重要な用途では同じ定義の独立実装と代表点を比較してください。
• 入力上限は数学的定義域を置き換えるものではなく、ブラウザを長時間占有しないための運用境界です。上限付近、極端な裾、特異境界に近い入力では丸め誤差が増えます。有限値へ黙って丸めず、許容範囲外や収束不能は入力エラーまたは計算エラーとして示します。
• 定義と境界はNIST Dataplot、NIST/SEMATECH Engineering Statistics Handbook、SciPy公式資料を2026年7月14日に照合しました。参照資料は式、パラメータ化、支持範囲、確率領域を確かめるために使い、計算中に外部サイトへ接続しません。
• 結果は入力した分布・関数の値であり、標本がその分布へ適合すること、相関が因果関係を表すこと、検定や設計の前提が満たされることを保証しません。実データへ適用するときは母数推定、標本数、外れ値、独立性、測定単位、モデル選択を別途検証してください。
• このページはcalculator-firstで、入力、計算、結果を先に置き、その下に式、使い方、境界、数値誤差、FAQを掲載します。生成時はWordPress本文・追加CSS・追加JavaScriptの3成果物へ分けられますが、ここではローカル成果物だけを作り、WordPressへの投稿、下書き、書き込み、公開は行いません。
• 許可制の宣言的ASTと共有named functionだけを使い、eval、new Function、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketを使用しません。計算は利用者の端末内で完結し、入力値や結果をサーバー・第三者へ送信または保存しません。
• 再現用に、結果の数値だけでなく入力値、角度や標準化の単位、確率領域の不等号、関数名、計算日を一緒に保存してください。同じ記号でも資料ごとに基準区間、上側・下側、相関の並び、係数の定義が異なる場合があります。名称だけで対応付けず、本文の数式と入力順を照合してから比較します。通常点に加えて対称性、独立、端点など既知の境界も検算すると、方向や係数の誤りを発見しやすくなります。
• 指定した数学的分布・関数の近似値です。モデル適合、検定設計、個別判断を保証しません。

よくある質問