混成対数正規分布の下側P・上側Qパーセント点

使い方

1. 左側累積確率から点を求めるなら下側P、右側累積確率から求めるなら上側Qを選び、確率を入力します。PとQは同じ数値でも指す点が異なるので、手元の資料の向きをそのまま選びます。
2. 強さパラメータρ、変換後Y=ρX+ln(ρX)の平均μ、標準偏差σを入力します。ρとσは正で、μは正負どちらも指定できます。ρの単位はXの単位の逆数とし、対数へ入るρXを無次元にします。
3. 計算後、パーセント点xと無次元値ρxを確認します。さらに同じxを順方向へ戻した下側P・上側Qを見比べ、累積方向やパラメータの入力違いを検出します。
4. 別ソフトと照合するときは、通常の対数正規分布やpower-lognormal分布ではなく、ρx+ln(ρx)が正規分布に従う同じ定義であることを数式まで確認します。

計算式・考え方

Y=ρX+ln(ρX)が平均μ、標準偏差σの正規分布に従うとします。下側P=pならz=Φ^−1(p)、上側Q=qならz=Φ̄^−1(q)=−Φ^−1(q)とし、y=μ+σzです。u=ρx>0はu+ln(u)=yを満たすため、DLMF 4.13のWright ω関数ω(y)+lnω(y)=yを使ってx=ω(y)/ρです。得たxではP=Φ((ρx+ln(ρx)−μ)/σ)、Q=Φ̄((ρx+ln(ρx)−μ)/σ)になります。

注意事項

• 参照canonicalの混成対数正規分布は、確率変数Xそのものの対数だけが正規分布に従う通常の対数正規分布ではありません。線形項ρXと対数項ln(ρX)の和を正規化する分布です。名称だけで他のhybrid lognormalやpower-lognormal実装へ置き換えず、変換式を一致させます。
• 関数h(u)=u+ln(u)はu>0で導関数1+1/uが常に正なので、任意の有限yに対して正の解は一つだけです。したがって複数のLambert W枝を選ぶ問題は起こらず、実数のWright ωまたはLambert W主枝W0(exp(y))で一意に逆変換できます。
• W0(exp(y))を文字どおり計算すると、大きな正のyではexp(y)が先にオーバーフローし、大きな負のyでは0へアンダーフローします。共有engineはexp(y)を中間生成せずWright ωを直接反復し、対数方程式ω+lnω=yの残差と反復上限を確認します。
• 下側P=0と上側Q=1では支持域の左端x=0を返します。反対に下側P=1と上側Q=0ではxが+∞となり、有限scalarだけを保存する契約に反するため拒否します。有限端点を最大値へ丸めたり、無限端点を0へ置き換えたりしません。
• 0・1以外の入力確率は1e-15以上0.999999999999999以下へ限定します。これは数学的定義域ではなくbinary64で標準正規分位点と往復確率を検証する運用境界です。さらに正のxが非正規化数へ落ちる組合せを、log(x)相当値が-700未満にならない条件で拒否します。
• 中央値ではp=q=0.5、z=0なのでx_c=ω(μ)/ρとなり、参照ページのhyb^−1(μ)/ρと一致します。中央値はσへ依存しませんが、他の分位点はσを大きくするほど中心から広がります。ρだけを2倍にすれば同じ無次元分位点ρxに対するxは半分になります。
• 上側Qは1−Qを作って下側逆関数へ渡すのではなく、上側専用ISFを呼びます。小さなQを1から引いたときに1へ丸まって情報を失うのを避けるためです。順方向はρx+ln(ρx)を再計算し、Qを1−Pだけで作らず標準正規SFの安定な経路で直接確認します。
• 式と端点は参照canonical、NIST Digital Library of Mathematical Functions 4.13節、SciPyの標準正規ndtri資料を2026年7月14日に照合しました。参照資料は定義と独立検算にだけ使い、計算時に外部サイトへ通信しません。
• 入力上限はブラウザ内で有限・決定的に処理するための安全境界であり、分布の数学的定義域を変更するものではありません。上限付近、極端な尾部、非常に小さいρ・σでは相対誤差が増えるため、重要な用途では独立実装と通常点・中央値・尾部をそれぞれ照合してください。
• 表示は最大有効数字15桁のbinary64近似です。参照サイトの6〜50桁選択と同じ任意精度を装いません。末尾桁、極端な尾の相対誤差、逆関数と順方向関数の往復差を考慮し、必要精度を満たすかは用途側で判断します。
• 結果は指定した分布と既知の母数を前提にした数学的分位点です。観測データがこの分布へ適合すること、ρ・μ・σの推定が正しいこと、将来値や安全限界を保証するものではありません。推定誤差、標本数、外れ値、単位系は別途検討します。
• ページはcalculator-firstで入力・計算・結果を先頭に置き、その下へ式、使い方、境界、数値安定性、FAQを掲載します。WordPress本文・追加CSS・追加JavaScriptの3成果物へ生成できる構造ですが、現段階ではローカル成果物だけを作り、投稿・下書き・公開を行いません。
• 計算は許可制のschema v3 ASTと共有named functionだけで利用者の端末内に完結します。eval、new Function、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocket、サーバー側変換処理を使わず、入力値や結果を外部へ送信・保存しません。
• 再現用にはP/Qの別、確率、ρ、μ、σ、Xの単位、計算日、表示桁数を一緒に保存してください。xだけを転記すると、上側・下側の取り違えやρの単位違いを後から判別できません。ρxと順方向P・Qも合わせて記録すると検算しやすくなります。
• 指定した数学的分布・母数のbinary64近似値です。分布適合、母数推定、個別の閾値判断を保証しません。

よくある質問