不完全ベータ関数Bx(a,b)・正規化Ix(a,b)のグラフと表

不完全ベータ関数Bx(a,b)・正規化Ix(a,b)のグラフと表

正のa・bと0≤x≤1の有限格子から、不完全ベータ関数Bx(a,b)と正規化不完全ベータ関数Ix(a,b)を同時に最大201点で計算します。

入力

0より大きい有限実数です。端末内の倍精度計算を安定させるため1e-12以上1e+06以下に限定します。積分核t^(a−1)の指数を決めます。

0より大きい有限実数です。端末内の倍精度計算を安定させるため1e-12以上1e+06以下に限定します。積分核(1−t)^(b−1)の指数を決めます。

第0点のxです。0以上1以下で、最終点も同じ範囲へ収まるよう刻みと点数を選びます。

隣り合う点の差です。正なら昇順、負なら降順です。0は同じxの重複列になるため使用できません。

初期値を第0点として数える1〜201点です。参照ページの繰返回数に対応し、端点を含みます。

使い方

  1. 0より大きいaとbを入力します。既定a=1、b=3では積分核が(1−t)^2となり、簡単な多項式でも検算できます。
  2. xの初期値、非0増分、1〜201点を入力します。全標本が0≤x≤1へ入るよう、最終点x初期値+増分×(点数−1)も検証します。
  3. 計算後、BxとIxを同じx行で比較します。IxはBxを完全ベータB(a,b)で割った値なので、縦軸の絶対量が異なる点に注意してください。
  4. 数値照合には表またはTSVを使います。x=0、x=1、対称性Ix(a,b)+I_(1−x)(b,a)=1を代表点にすると入力規約の違いを見つけやすくなります。

計算式・考え方

Bx(a,b)=∫_0^x t^(a−1)(1−t)^(b−1)dt、Ix(a,b)=Bx(a,b)/B(a,b)、B(a,b)=Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b)です。実装は共有regularized_beta_iでIxを求め、log B=logΓ(a)+logΓ(b)−logΓ(a+b)を指数へ戻してBx=Ix×Bとします。

注意事項

  • 定義域はa>0、b>0、0≤x≤1です。x=0ではBx=Ix=0、x=1ではBx=B(a,b)、Ix=1になります。端点を少し内側へ勝手に動かさず、共有関数が持つ厳密な端点値をそのまま表示します。
  • Ixは0〜1に正規化されるため累積割合として比較しやすい一方、Bxは完全ベータB(a,b)の大きさを保持します。同じ曲線形でもa・bによりBが非常に小さくなり、倍精度ではBxが0へアンダーフローする場合があります。
  • aとbを交換するとIx(a,b)と1−Ix(1−x;b,a)が対応します。例えばa=bならx=0.5でIx=0.5です。この対称性はグラフの左右形状と表値を独立に検算する手掛かりになります。
  • a<1では積分核が端点で発散する場合がありますが、積分値Bxと正規化値Ixは定義域内で有限です。本ページは核の高さではなく積分関数を描くため、端点へ便宜的な巨大値を置く必要はありません。
  • 参照既定a=1、b=3ではB(a,b)=1/3、Bx=1/3−(1−x)^3/3、Ix=1−(1−x)^3です。x=0.5でBx=7/24、Ix=7/8となり、POST結果とも照合できる有理数例です。
  • 二項分布の尾確率やベータ分布のCDFにもIxが現れますが、このページは関数表の生成に限定します。標本データからa・bを推定したり、信頼区間や仮説検定の結論を返したりはしません。
  • NIST Digital Library of Mathematical Functions 8.17.1〜8.17.4を2026年7月13日に確認し、Bxの積分、Ixの正規化、完全ベータのGamma比、相補対称性を照合しました。
  • 共有regularized_beta_iの代表値はSciPy公式scipy.special.betaincと2026年7月13日に独立比較し、a=1,b=3の参照フォームPOST値も0、0.5、1で確認しました。
  • サンプル番号iを0から点数−1まで取り、x_i=x初期値+i×x増分で作ります。点数には初期値と最終点の両方を含みます。増分を負にするとxは降順になり、同じ関数を右から左へ確認できます。増分0は参照ページで表列が崩れるため明示的に拒否します。
  • 点数は1〜201へ有界化しています。線は隣接する計算点を視覚的に結ぶもので、点の間を追加評価した結果ではありません。急な折れ曲がりや飽和域を調べるときは、区間を狭めるか点数を増やし、重要なxが格子点に含まれるよう初期値と増分を選んでください。
  • グラフが主結果ですが、色や線だけに依存しない同値のデータ表を必ず併記し、全行をTSVとしてコピーできます。表のxと各系列値が正本で、グラフはその可視化です。スクリーンリーダーでは結果の要約、列見出し、行データの順に確認できます。
  • 式はschema v4のsampled-series-v1で各xを独立評価します。許可制ASTと既存named functionだけを使い、eval、new Function、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketへ接続しません。入力と生成系列は利用者の端末内だけで処理され、サーバーや第三者へ送信・保存されません。
  • グラフの形だけで学習性能、確率モデルの適合、工学現象の妥当性は判断できません。関数名、パラメータ、入力尺度、浮動小数点精度を合わせ、必要なら表の代表点を別実装と数値比較してください。低精度テンソルや量子化モデルでは倍精度の本ページと末尾桁や飽和開始位置が異なる場合があります。
  • 実数関数を有限格子で標本化した学習・検算用グラフです。モデル性能、統計的適合性、設計安全性を判定しません。

よくある質問

BxとIxの違いは何ですか？

Bxは積分そのもの、IxはBxを完全ベータB(a,b)で割った正規化値です。Ixは0から1、Bxの終点はB(a,b)です。

x=1で2系列が同じになりません。

正常です。Ix(1)=1ですがBx(1)=B(a,b)です。B(a,b)=1の特別なパラメータでだけ一致します。

aまたはbが1未満でも使えますか？

正であれば使えます。積分核は端点で発散し得ますが不完全ベータ積分は有限です。極端値では倍精度の限界も確認してください。

ベータ分布CDFと同じですか？

正規化Ixはベータ分布の下側CDFです。非正規化Bxは確率ではないため、そのままCDFとして解釈しません。

入力した数値と生成した系列は端末内だけで計算・表示されます。外部へ送信・保存せず、氏名、モデル名、測定データなどの個人情報・機密情報を入力する欄もありません。