不完全ベータ関数のBx・Ixと上側補数を計算

使い方

1. 正の形状a,bと0〜1の積分上限xを、問題文や検算元の記号と同じ順序で確認します。
2. a,bの順序と閉区間内のxを入力し、P/Q/I、前向き・逆、正規化の選択を見直します。
3. 「計算する」を押し、下側Bx/Ix、上側非正規化・正規化、完全Betaと補数和を出力ラベルと式に照らして読みます。
4. 補数和、対称性、前向き→逆の往復を確認し、丸め前の入力とソフトウェア版を記録します。

計算式・考え方

Bx(a,b)=B(a,b)Ix(a,b)。上側正規化はI_(1−x)(b,a)、上側非正規化はB(a,b)I_(1−x)(b,a)。Ix+I_(1−x)(b,a)=1。

注意事項

• 実数正領域の不完全Beta関数は、0からxの不完全Beta積分を完全Betaで割ったIxと、交換したa,b・1−xによる上側を同時に返すものです。参照ページの一つの計算目的を保ち、グラフや可変行表へ広げず、入力した有限実数から固定個数のscalar結果を返します。分布名や関数名が似ていても、正規化・非正規化、下側・上側、前向き・逆関数を出力名で区別します。
• 式とパラメータ化は、DLMF 8.17のBx(a,b)、Ix(a,b)とa,b,xの順序を使い、aとbを交換した対称式を上側に使います。Ixは共有named function、完全B(a,b)は共有positive_log_gamma三項から作り、非正規化値はその積です。位置・尺度を暗黙に追加せず、自由度ν、ν1、ν2の順序、aとbの順序、xの意味を参照式どおりに固定します。別ライブラリと比べるときは引数順を最初に確認します。
• 定義域は、a,bは正で非正規化Bを有限表示するため1e-12〜170、xは閉区間[0,1]です。境界については、x=0ではBx=Ix=0・上側は完全Bと1、x=1では下側は完全Bと1・上側0です。定義域外、有限倍精度で表せない分位点、非正規化値があふれる形状を便宜的な0や最大値へ置き換えず、該当入力のエラーとして示します。
• 下側と上側は、下側IxはI(a,b,x)、上側は1−IxではなくI(b,a,1−x)を直接呼び、両端近くの小さい補数を保ちます。P+Q=1またはI_x(a,b)+I_(1−x)(b,a)=1という関係を検算に使いますが、小さい側の裾を1からの引算だけで作りません。上側は対称変換または専用Q関数を直接使い、極端な裾の有効桁を保ちます。
• 逆関数では、このページはxからBx/Ixを返し、値からxを戻す処理は別canonical 1161228668へ分離します。下側Pと上側Qは同じ数値を入力しても、t分布では符号が反転し、F分布では小さい点と大きい点になります。端点0・1は理論上無限になる分位点では有限入力域から除き、有限端点を持つ不完全ベータ逆関数では0と1をそのまま扱います。
• 数値安定性は、正規化値を連分数と対称変換で求め、非正規化値だけ完全Betaを掛けます。a,b上限で極端なoverflow/underflow域を抑えます。共有runtime 1.7の正規化不完全Gamma/Beta関数は級数・連分数・対称変換と反復上限を持ち、逆関数は区間を保った反復を使います。このページ側では巨大な固定段数ASTや無根拠な近似係数へ戻しません。
• 結果の読み方は、Bxは積分そのもの、Ixは完全Betaに対する0〜1の比率です。上側二出力も同じ正規化・非正規化の対応です。確率密度f(x)は一点の確率ではなく曲線の高さです。累積確率は区間の面積、パーセント点は指定面積に対応する横軸の値です。数値が得られても検定の採否、モデル適合、標本の独立性は自動判定しません。
• 一次資料は、NIST DLMF 8.17.1〜8.17.4のBx、Ix、完全Beta、Ix(a,b)=1−I(1−x)(b,a)の定義を確認しました（確認日2026年7月13日）。NIST/DLMFの式、定義域、対称関係と参照ページの既定POST値を独立に照合し、文章やプログラムを複製していません。将来のruntime改定では同じ通常・境界・裾・往復ケースを再実行します。
• 検算例は、a=1,b=3,x=0.4でBx=0.2613333333、Ix=0.784、上側正規化0.216、完全B=1/3です。通常点に加えて、中心、x=0または1、P/Qの補数、負側t、自由度や形状の下限外、逆関数の前向き往復を確認します。異常例では計算を続けず、NaNやInfinityを通常の有限結果に見せません。
• このページが扱わない範囲は、a,b≤0の解析接続、複素引数、枝、任意精度、多変量Beta、逆関数はこの前向きページでは扱いません。複素引数、解析接続、任意精度、多変量分布、非心分布、標本からのパラメータ推定、p値の多重比較補正などは、それぞれ専用定義と検証が必要です。
• 参照ページとの対応は、参照ページのBxとIxを維持し、対称上側と完全Betaを同じ恒等式の検算出力として追加します。追加出力は同じ式のP/Q/I、補数、正規化値、往復値など検算可能な内訳だけです。グラフ版canonicalや範囲走査を混ぜず、1ページ1ツールの固定入力・固定出力にしています。
• 計算はブラウザ内で完結し、外部API、CDN、任意コード実行を使いません。重要な研究・品質保証では、採用した分布パラメータ、裾の向き、丸め前の確率、ソフトウェア名と版を記録し、R、SciPy、NIST表など独立実装でも照合してください。
• 有限な実数とIEEE 754倍精度による学習・検算用の近似値です。検定結論、モデル妥当性、複素枝、任意精度を確定しません。

よくある質問