上昇Pochhammer関数 (x)_n を有限積で計算

使い方

1. 実数xと非負整数nを入力します。
2. 上昇階乗(x)_nを有限積で計算します。
3. n=0、負整数で0になる点、直接積で検算します。

計算式・考え方

非負整数nについて(x)_n=x(x+1)…(x+n−1)、(x)_0=1と定義する上昇階乗です。

注意事項

• NIST DLMF §5.2(iii)を2026年7月13日に照合しました。Pochhammer記号はこのページでは上昇階乗です。x(x−1)…と因子が減る下降階乗とは異なるため、参照式の因子が+1ずつ進むことを確認してください。
• n=0では空積を1と定義します。xが負整数で、因子列x,x+1,…に0が含まれると、それ以降の積は0です。例えば(−10)_11は0ですが、canonical既定の(−10)_6は151200です。
• Gamma関数を使えば一般に(x)_n=Γ(x+n)/Γ(x)と書けますが、負整数では分子・分母の極が相殺する場合があります。本実装はnが非負整数なので有限積を直接使い、Gamma比の∞/∞を避けます。
• xは一般実数であり、結果はbinary64近似です。整数xでも大きな積は2^53−1を超えるため厳密整数を保証しません。xが−20から20の整数なら全組合せがsafeなのはn≤11までで、n=12からunsafeな例が現れます。
• nは128まで許可しますが、各乗算後に有限性を検査し、overflowすれば計算エラーにします。大きな結果の末尾桁は丸められます。厳密な巨大整数や記号式が必要な場合はBigInt・任意精度の専用実装を使ってください。
• このページは一組の入力から一つまたは少数の代表値を求めるスカラー計算機です。連続区間の形を調べるグラフ版とは目的が異なり、教科書の例題、実装テスト、数表の一点を落ち着いて照合できます。同じ記号でも符号規約、解析接続、上昇階乗と下降階乗の違いがあるため、結果だけでなく本文の定義式を先に確認してください。
• 計算は利用者のブラウザ内だけで完結し、入力値を外部APIやサーバーへ送信しません。eval、new Function、fetch、XHR、WebSocketを使わず、コード側で許可した有界named functionだけを呼び出します。反復回数、整数上限、有限性を検査し、範囲外や未定義点を都合のよい近似値へ置き換えません。
• JavaScriptの数値はIEEE 754 binary64で、整数を常に厳密に表せるのは絶対値2^53−1以下です。Bernoulli数とStirling数はこの安全整数境界から入力上限を決めています。画面表示は最大15桁へ整形されるため、16桁の安全整数は科学表記で末尾が丸められる場合がありますが、内部のnamed functionとテストoracleは安全整数として厳密です。
• 検算ではcanonical既定値だけでなく、0、端点、符号が変わる点、最初の未許可値を分けて確認します。漸化式を使う整数列は隣接行を独立DPと比較し、ゼータ関連関数は高精度mpmath、Bernoulli数は既約Fraction、Pochhammerは直接積と照合します。異なる方法が同じ丸め値を返すことを確認してから利用してください。
• 入力欄は有限値と整数条件を検査し、エラーがあれば対象欄へフォーカスを戻します。0と未定義、非常に小さい非零値、近似小数と厳密整数を区別します。結果をコピーするときは関数名、入力、採用した規約、確認日も一緒に記録すると、別の資料やソフトウェアで条件を復元しやすくなります。
• この計算結果は学習、数表作成、プログラムの単体テストを補助するものです。有限範囲の一つの値から、関数全体の収束、零点の個数、解析的性質を断定しないでください。証明、任意精度、複素変数が必要な用途では、NIST DLMFなどの一次資料と多倍長実装を併用し、用途に必要な誤差基準を別途定めてください。
• 有界な実数・安全整数の学習と検算用です。任意精度、複素変数、範囲外の解析接続は扱いません。

よくある質問