第1種不完全楕円積分 F(x,k) 計算

使い方

1. −1≤x≤1と|k×x|≤1を満たすx、kを入力します。既定値はx=0.8、k=0.5です。
2. 入力条件を確認し、「計算する」を押します。結果欄には楕円積分の無次元値を表示します。
3. kをparameter mで与えられた資料と比較するときは、m=k²へ換算してから照合します。
4. 結果をコピーする場合は関数名、入力値、角度単位、確認日も一緒に記録してください。

計算式・考え方

F(x,k)=∫[0,x] dt/√((1−t²)(1−k²t²)) を計算します。x=sinφの主区間表現です。

注意事項

• x形式はtを積分変数とし、x=sinφで振幅形式へ対応します。ただしsinは周期ごとの情報を失うため、この対応は主に|φ|≤π/2の主区間で使います。xだけからφ=πとφ=0を区別できません。
• 実数平方根には|x|≤1かつ|kx|≤1が必要です。|kx|=1が上端だけなら平方根型特異点として積分可能ですが、|x|=|kx|=1では二つの零点が重なり対数発散するため拒否します。
• 不完全第1種は振幅が途中までの楕円積分、Jacobi振幅の逆関数、有限区間の変数変換に使います。完全値が不要な場合に上端xを直接指定でき、数表やライブラリの一点検算に便利です。
• F(x,k)=F(arcsin x,k)は主値の関係です。φが90度を越える問題ではx形式へ単純変換せず、周期数を保持するF(φ,k)ページを使ってください。
• x=0.8、k=0.5ではF=0.957619099964016132でcanonical POSTと一致します。x=0なら0、x=1かつ|k|<1なら完全積分K(k)です。
• F(−x,k)=−F(x,k)、F(0,k)=0、F(1,k)=K(k)が主要な検算関係です。|kx|=1の上端は積分可能な場合がありますが、xとkxが同時に±1なら対数発散します。同じ『分母が0』でも一重の平方根と重なった零点を区別します。
• x形式を使う利点は、積分上端が代数変数として与えられた式を逆正弦へ変換せず入力できることです。一方、xは−1から1に収まり、何周期進んだ振幅かを表しません。数値ライブラリのellipfへ渡す場合はφ=arcsin(x)とm=k²の二段階変換が必要です。
• 第1種不完全楕円積分 F(x,k)について: この計算は入力から結果表示までブラウザ内で完結します。外部APIへ入力値を送らず、サーバー側で数値積分を繰り返しません。固定回数上限を持つCarlson対称積分の重複法を使うため、端末の計算資源だけで応答し、通信状態に左右されず検算できます。
• 第1種不完全楕円積分 F(x,k)について: 記号kはLegendre楕円積分の母数modulusです。SciPyやMATLABなど一部の資料・関数が使うparameter mとはm=k²の関係です。たとえばこのページでk=0.5を指定すると、mを取る関数には0.25を渡します。kとmの取り違えは数値不一致の代表原因です。
• 第1種不完全楕円積分 F(x,k)について: 数値計算はNIST DLMF §19.25のLegendre積分とCarlsonのRF、RD、RJの関係を用い、§19.36の重複法に沿って差を反復的に縮小します。反復は64回を上限にし、収束しない値を近似値へ黙って置き換えません。式と計算法は2026年7月13日に照合しました。
• 第1種不完全楕円積分 F(x,k)について: 表示値はJavaScriptのIEEE 754 binary64相当で最大15桁に整形します。特異点へ近づくほど関数値と条件数が大きくなり、入力末尾の小さな差が結果へ強く反映されます。高精度論文や任意精度計算を置き換えるものではなく、通常精度の設計・学習・実装検算向けです。
• 第1種不完全楕円積分 F(x,k)について: このページは有限な通常の実積分を対象とします。複素数への解析接続、分母の極をまたぐCauchy主値、発散積分へ便宜的な有限値を割り当てる処理は行いません。入力条件を満たさない場合は対象欄を明示して停止するため、結果だけを見て定義域外に気づかない事故を防げます。
• 第1種不完全楕円積分 F(x,k)について: 楕円積分は単振り子の周期、楕円弧長、電磁気、弾性、確率分布の変数変換などに現れます。ただし実際の物理量へ適用するときは、無次元化、単位、境界条件、採用するkまたはmの規約を元の式で確認してください。この計算値だけで安全率や設計可否を決めないでください。
• 第1種不完全楕円積分 F(x,k)について: 実際の検算では、まず既定値を計算して表示桁と入力規約を確認し、次にゼロ、符号反転、完全積分へ戻る端点など既知の関係を一つずつ試します。その後で目的の入力を計算し、結果を別のソフトへ渡すときは画面表示を手入力せずコピーボタンを使います。末尾桁の差は二進浮動小数と表示丸めで生じるため、全桁一致だけを合否基準にせず、絶対誤差と相対誤差、特異点からの距離を併記してください。同じ値を再現するには関数の種類、引数順、kかmか、角度単位、使用した桁数を記録します。
• 有限な通常の実数楕円積分を学習・検算するツールです。Cauchy主値、複素値、任意精度は扱いません。

よくある質問