不完全ガンマ関数のγ・Γ・正規化P・Qを計算

不完全ガンマ関数のγ・Γ・正規化P・Qを計算

正のaとx≥0から、下側不完全ガンマγ(a,x)、上側Γ(a,x)、正規化P(a,x)、Q(a,x)、完全Γ(a)を計算します。

入力

0より大きい実数です。非正規化値Γ(a)またはB(a,b)を有限倍精度で返すため、1e-12〜170に限定します。

0以上100,000,000以下の実数です。x=0の端点を含みます。

使い方

  1. 正の形状aと0以上の実数xを、問題文や検算元の記号と同じ順序で確認します。
  2. 非正規化値を有限表示できるaと積分境界xを入力し、P/Q/I、前向き・逆、正規化の選択を見直します。
  3. 「計算する」を押し、γ、上側Γ(a,x)、P、Q、完全Γ(a)と二つの和を出力ラベルと式に照らして読みます。
  4. 補数和、対称性、前向き→逆の往復を確認し、丸め前の入力とソフトウェア版を記録します。

計算式・考え方

γ(a,x)=Γ(a)P(a,x)、Γ(a,x)=Γ(a)Q(a,x)、P+Q=1、γ+Γ(a,x)=Γ(a)。a>0、x≥0の実数積分領域に限定します。

注意事項

  • 実数正領域の不完全Gamma関数は、0からxの下側積分とxから∞の上側積分を、完全Gammaで正規化したP/Qとともに返すものです。参照ページの一つの計算目的を保ち、グラフや可変行表へ広げず、入力した有限実数から固定個数のscalar結果を返します。分布名や関数名が似ていても、正規化・非正規化、下側・上側、前向き・逆関数を出力名で区別します。
  • 式とパラメータ化は、DLMF 8.2のγ(a,x)、Γ(a,x)、P(a,x)、Q(a,x)の記号とa,xの順序を使います。P/Qは共有named function、完全Γ(a)は共有positive_log_gammaから有限値へ戻して非正規化値を作ります。位置・尺度を暗黙に追加せず、自由度ν、ν1、ν2の順序、aとbの順序、xの意味を参照式どおりに固定します。別ライブラリと比べるときは引数順を最初に確認します。
  • 定義域は、積分定義に合わせaは正で、非正規化Γ(a)を有限表示するため1e-12〜170、xは0〜100,000,000です。境界については、x=0ではγ=0、Γ(a,0)=Γ(a)、P=0、Q=1です。a=0以下の解析接続は扱いません。定義域外、有限倍精度で表せない分位点、非正規化値があふれる形状を便宜的な0や最大値へ置き換えず、該当入力のエラーとして示します。
  • 下側と上側は、Pは下側、Qは上側の正規化値で、Qを1−Pだけでなく専用regularized_gamma_qから直接求めます。P+Q=1またはI_x(a,b)+I_(1−x)(b,a)=1という関係を検算に使いますが、小さい側の裾を1からの引算だけで作りません。上側は対称変換または専用Q関数を直接使い、極端な裾の有効桁を保ちます。
  • 逆関数では、このcanonicalは前向き関数だけです。P/Qからxを戻す逆Gamma関数ページを無断で統合しません。下側Pと上側Qは同じ数値を入力しても、t分布では符号が反転し、F分布では小さい点と大きい点になります。端点0・1は理論上無限になる分位点では有限入力域から除き、有限端点を持つ不完全ベータ逆関数では0と1をそのまま扱います。
  • 数値安定性は、P/Qはaとxの領域で級数・連分数を切り替え、非正規化値はΓ(a)との積として作ります。a上限でoverflowを防ぎます。共有runtime 1.7の正規化不完全Gamma/Beta関数は級数・連分数・対称変換と反復上限を持ち、逆関数は区間を保った反復を使います。このページ側では巨大な固定段数ASTや無根拠な近似係数へ戻しません。
  • 結果の読み方は、γとΓ(a,x)は非正規化の積分値、P/Qは0〜1の比率、完全Γ(a)は両者の和の検算値です。確率密度f(x)は一点の確率ではなく曲線の高さです。累積確率は区間の面積、パーセント点は指定面積に対応する横軸の値です。数値が得られても検定の採否、モデル適合、標本の独立性は自動判定しません。
  • 一次資料は、NIST DLMF 8.2.1〜8.2.6の下側・上側・正規化不完全Gamma定義と補数関係を確認しました（確認日2026年7月13日）。NIST/DLMFの式、定義域、対称関係と参照ページの既定POST値を独立に照合し、文章やプログラムを複製していません。将来のruntime改定では同じ通常・境界・裾・往復ケースを再実行します。
  • 検算例は、a=1,x=2ではΓ(1)=1、γ=1−e⁻²≈0.8646647168、上側=e⁻²≈0.1353352832です。通常点に加えて、中心、x=0または1、P/Qの補数、負側t、自由度や形状の下限外、逆関数の前向き往復を確認します。異常例では計算を続けず、NaNやInfinityを通常の有限結果に見せません。
  • このページが扱わない範囲は、a≤0の解析接続、複素x、枝、任意精度、逆不完全Gamma、極端に巨大な非正規化Γ(a)は扱いません。複素引数、解析接続、任意精度、多変量分布、非心分布、標本からのパラメータ推定、p値の多重比較補正などは、それぞれ専用定義と検証が必要です。
  • 参照ページとの対応は、参照ページのγ(a,x)とΓ(a,x)を維持し、P/Qと完全Γ(a)を同じ恒等式の検算出力として追加します。追加出力は同じ式のP/Q/I、補数、正規化値、往復値など検算可能な内訳だけです。グラフ版canonicalや範囲走査を混ぜず、1ページ1ツールの固定入力・固定出力にしています。
  • 計算はブラウザ内で完結し、外部API、CDN、任意コード実行を使いません。重要な研究・品質保証では、採用した分布パラメータ、裾の向き、丸め前の確率、ソフトウェア名と版を記録し、R、SciPy、NIST表など独立実装でも照合してください。
  • 有限な実数とIEEE 754倍精度による学習・検算用の近似値です。検定結論、モデル妥当性、複素枝、任意精度を確定しません。

よくある質問

下側Pと上側Qはどう使い分けますか？

P=γ/Γ(a)、Q=Γ(a,x)/Γ(a)で、同じa,xならP+Q=1です。小さい上側はQ出力を直接使います。Pは左または下側、Qは右または上側の面積です。連続分布では同じxに対しP+Q=1ですが、分位点入力で同じ数値をPとQへ入れると一般に別のxになります。

確率0または1を分位点へ入力できますか？

前向き関数なのでx=0を受け付け、下側0・上側Γ(a)を返します。a=0は積分が0付近で収束しないため拒否します。無限支持分布の分位点は端で±∞または+∞になるため、有限scalarページでは0・1を除外します。不完全関数の前向き端点と、有限区間[0,1]の不完全ベータ逆関数は別扱いです。

結果が統計ソフトと少し違うのはなぜですか？

自由度の順序、下側・上側、正規化、百分率と小数、非心・中心分布、途中丸め、表示桁が違う可能性があります。まず関数定義と引数順をそろえ、15桁すべてではなく相対・絶対誤差と前向き往復で比較してください。

この結果だけで仮説検定やモデル選択ができますか？

できません。分布値や分位点は計算部品です。検定には帰無仮説、片側・両側、統計量の定義、自由度の導出、前提条件、多重比較、事前に定めた有意水準が別途必要です。

入力値は外部へ送信されますか？

送信されません。この定義は端末内のJavaScriptだけで計算します。計算に不要な研究対象名、個人情報、未公開の測定値は入力せず、共有端末ではコピー先や画面履歴にも注意してください。

入力したx、自由度、形状a・b、累積確率はこの端末内だけで処理され、外部へ送信・保存されません。ツールは入力値から統計的結論や個人属性を推定せず、計算に不要な識別情報も要求しません。