Airy関数Ai’・Bi’の負の実ゼロ点を順位計算

使い方

1. 微分ゼロ点順位sを1〜100の整数で入力します。
2. Ai'とBi'それぞれのs番目の負の実ゼロ点を計算します。
3. 関数本体のゼロ点と混同せず、極値位置として結果を確認します。

計算式・考え方

Ai'(a'_s)=0、Bi'(b'_s)=0を満たす負の実根を、0>a'_1>a'_2>…、0>b'_1>b'_2>…の順に返します。Airy方程式からNewton導関数はAi''(x)=xAi(x)、Bi''(x)=xBi(x)です。

注意事項

• Ai'とBi'のゼロ点はAiとBiの極大・極小位置です。第1位はAi'が約−1.01879297165、Bi'が約−2.29443968261で、関数本体の第1ゼロ点とは順序も値も異なります。
• Newton反復で必要な二次微分を数値差分せず、微分方程式y''=xyから計算します。これにより差分幅の選択を避け、1〜100位で再現可能な有界計算にします。
• Airy関数AiとBiは微分方程式y''−xy=0の独立な二解です。実軸の負側では振動し、正側ではAiが急速に減衰、Biが急速に増加します。名称が似ていても同じ大きさの正負違いではありません。関数値と一次微分、ゼロ点のどれを求めているかを確認し、入力xまたはゼロ点順位sと一緒に記録してください。
• このwaveは有限な実数だけを扱います。canonicalの単一値Ai/Biページと一次微分ページは1+iのような複素入力も受け付けるため、実数だけへ黙って縮約せず、複素入力・複素結果の共通契約ができるまで別blockerにしています。ここで完成扱いにするのは、canonical自体が実数格子を指定するグラフ2ページと、負の実ゼロ点順位を指定する2ページです。
• 計算はすべて利用者のブラウザ内で完結し、外部API、サーバー計算、CDN、fetchを使いません。xは−65以上20以下、グラフは最大201点、Taylor移送は1回0.125以下で最大1100回、ゼロ点は1位から100位、Newton反復は最大12回に固定します。収束失敗や範囲外を推測値へ置き換えず入力エラーとして返します。
• y''=xyから局所Taylor係数を漸化式で作り、負の実軸はx=0の既知初期値から後退します。正のAiは微小な劣解へBi成分が混入する不安定性を避けるため、x=20でDLMFの漸近展開を最小項打切りし、目的xへ後退します。正のBiはx=0から前進します。各移送後に関数値と導関数の有限性を検査します。
• 独立検算にはWronskian Ai(x)Bi'(x)−Ai'(x)Bi(x)=1/πを使えます。試作は範囲端を含む実数14点×4関数とゼロ点4系列×100位をmpmathへ照合し、456件すべてで合格しました。最大相対誤差は約8.45×10^−15、ゼロ点の最大絶対誤差は約3.70×10^−15、Wronskian残差は約1.61×10^−15でした。
• グラフは標本点を直線で結ぶ表示です。零点や極値を厳密に求めるroot finderではないため、ピクセル上の交点をそのまま高精度解として使わないでください。数値表とTSVには実際に計算した点だけを出します。注目範囲を狭めて増分を小さくするか、ゼロ点ページで順位から直接求めて確認してください。
• ゼロ点は負の実軸上に並び、順位1を原点に最も近い負の根とします。Ai、Bi、Ai'、Bi'の四系列は互いに異なります。微分ゼロ点を関数本体のゼロ点と取り違えず、たとえばAiの第1ゼロ点は約−2.3381、Ai'の第1ゼロ点は約−1.01879であることを確認してください。順位が増えるほど絶対値は大きくなります。
• 検算は既定値だけでなく、x=0の既知値、負側の振動点、正側の減衰・増加点、許可範囲の両端を分けて行います。関数本体と一次微分を同じxで照合し、WronskianだけでなくTaylor移送の前後で微分方程式y''=xyの関係も確認します。別ライブラリへ渡す場合は、複素Airy関数ではなく実数xの実数値を比較し、絶対誤差と値の大きさで規格化した誤差の両方を記録してください。
• 正のxではAiが非常に小さくBiが非常に大きくなるため、同じ絶対誤差や同じ縦軸だけで品質を判断できません。大きなBiの末尾差は相対誤差で、小さなAiは絶対誤差と相対誤差を併記して評価します。表示上0に見える値も内部では0ではない場合があるので、数値表の指数表記を確認してください。反対に、ゼロ点ページは関数値の丸めではなくNewton補正量で収束を判定します。
• 結果を記事、教材、プログラムへ転記するときは、AiかBiか、関数本体か一次微分か、入力xかゼロ点順位かを数値と一緒に残してください。記号のプライムや順位添字が落ちると別の値に見えても誤りを発見しにくくなります。計算日、対応域、最大15有効桁の表示であることも併記すれば、将来別の精度や複素engineへ切り替えた際に再検算しやすくなります。
• 微分方程式と初期値はNIST DLMF §9.2、正軸Aiの漸近展開は§9.7、実ゼロ点の定義と漸近初期値は§9.9および§9.17を2026年7月13日に照合しました。表示はbinary64の最大15有効桁です。複素枝、任意精度、100位を超えるゼロ点、証明用途はこの有界real waveの対象外です。
• 負の実ゼロ点1〜100位を倍精度で返します。複素ゼロ点と任意精度は扱いません。

よくある質問