ベータ分布の密度・下側累積・上側累積グラフ（形状a・b）

使い方

1. 確率密度f、下側累積P、上側累積Qから表示する関数を選び、形状母数aとbを入力します。既定はf、a=2、b=3です。
2. x格子を0〜1の支持域内で指定します。既定は0.01刻み101点で両端点を含み、a・bによる端点挙動も確認できます。
3. aとbを入れ替えて再計算し、f(x;a,b)=f(1−x;b,a)とQ(x;a,b)=P(1−x;b,a)を対応点で検算します。

計算式・考え方

0<x<1、a>0、b>0でf(x;a,b)=Γ(a+b)x^(a−1)(1−x)^(b−1)/(Γ(a)Γ(b))です。log f=(a−1)log x+(b−1)log(1−x)+log Γ(a+b)−log Γ(a)−log Γ(b)を評価します。x=0はa>1で0、a=1でb、a<1で発散し、x=1はbについて対称に扱います。P=I_x(a,b)、Q=I_(1−x)(b,a)を直接評価し、上側を1−Pだけから作りません。

注意事項

• ベータ分布の支持域は閉区間0〜1で、割合や確率のような有界量の理論モデルに使われます。ただし観測データが0や1を含む場合、標準ベータ分布の尤度や端点密度の扱いは形状母数に依存します。本ページは曲線を描くだけで、ゼロ・ワン膨張モデルへの自動変更や母数推定は行いません。
• a=bならx=0.5を軸に左右対称です。a>bなら山は相対的に0側、a<bなら1側へ寄ります。a=b=1は区間内で密度1の一様分布、a,b>1は内側に山を持ち、a,b<1では両端が発散するU字形です。端点の発散は有限の棒へ偽装せず未定義セルにしています。
• SciPy公式の標準化されたbeta分布式と照合し、位置loc=0、尺度scale=1に固定しました。一般の区間[L,U]へ移したベータ分布では変数変換と1/(U−L)が必要ですが、本ページには暗黙に追加しません。別ソフトと比べるときはa・bの順序、区間、位置・尺度を揃えてください。
• a+bをlog Γへ渡すため、各形状母数を10,000以下に有界化しています。非常に大きいa・bでは密度が平均付近へ鋭く集中し、0.01刻みでは山頂を取り逃すことがあります。その場合は理論平均a/(a+b)の近くへ範囲を狭め、増分を小さくして再計算してください。
• 累積Pはx=0で0、x=1で1、上側Qはその逆です。QはBeta分布の対称関係を使って小さい右裾を直接求めるため、Pが1へ丸まる領域でも表示済みPとの差し引きより情報を保ちやすい構成です。
• 確率密度f(x)は一点の発生確率ではなく、連続分布の一点確率は0です。下側累積P(x)はX≤xの左側面積、上側累積Q(x)はX>xの右側面積で、同じxならP+Q=1です。fは密度、PとQは0〜1の確率なので、縦軸の高さを三つの関数間で直接比較しないでください。
• 標本番号i=0,…,n−1についてx_i=x初期値+i×x増分を評価します。線は隣接する有限標本値を視覚的に結ぶだけで、その間を追加計算したものではありません。山頂や急変部を詳しく見るときは範囲を狭めて刻みを細かくし、重要なxが格子へ含まれるように調整してください。
• 点数は端末負荷を一定に保つため1〜201点へ有界化しています。増分を負にすると同じ支持域を右から左へ確認でき、1点だけの評価も可能です。増分0と支持域外へ出る最終点は、重複表や無意味な延長を作らないよう送信前の項目エラーとして示します。
• 支持域端点で密度の極限が有限なら0または解析値を返します。一方、形状母数によって+∞へ発散する端点は最大値や大きな有限値へ置き換えず、そのセルを「未定義」として線を切ります。これは式の不具合ではなく密度関数の特異性であり、端点直後の正のxを含めると曲線の立ち上がりを確認できます。
• 密度は対数形で組み立て、最後にexpを一度適用します。xのべき、Gamma関数、尺度係数を先に巨大な積や商へするとオーバーフローしやすいためです。それでも倍精度より小さい裾は0へ丸まり得ます。0は必ずしも数学的に厳密な0ではないので、極端な尾の対数密度が必要な用途には使わないでください。
• 累積P・Qは正則化不完全GammaまたはBeta関数の安定な向きを直接評価します。小さい上側確率を常に1−Pだけで作ると、Pが倍精度で1へ丸まった時に有効桁を失います。Gamma系は専用Q、Beta系は引数と形状を入れ替えた対称式を使い、t分布はxの符号で小さい側を直接選びます。
• グラフが主結果ですが、色や形だけに依存しない同値の表を併記し、全行をTSVでコピーできます。数値照合では画像の高さではなく表のxと選択した関数値を正本にしてください。表示は最大15有効桁で、異なるライブラリ、CPU、母数範囲では丸め順によって末尾桁が異なる場合があります。
• 計算はschema v4のsampled-series-v1と許可制ASTを使い、各xを利用者の端末内で独立評価します。eval、new Function、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketは使用しません。入力値と生成系列は外部へ送信・保存されず、WordPressへの書込み、下書き作成、公開も行いません。
• 密度・累積・上側確率の式と母数化は2026年7月13日にNIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods、NIST Engineering Statistics HandbookおよびSciPy公式scipy.statsリファレンスで照合しました。参照ページの既定格子は保ちつつ、静止画像ではなく再計算できるSVG、表、TSVへ置き換えています。
• 指定した理論分布・母数の密度・累積グラフです。データへの適合、母数推定、仮説検定、医療・品質・監査上の結論を保証しません。

よくある質問