ブリルアン関数B_J(x)のグラフ・表を半整数Jで計算

ブリルアン関数B_J(x)のグラフ・表を半整数Jで計算

正の整数または半整数Jと実数x格子から、ブリルアン関数B_J(x)を原点の連続値と小引数級数を含む安定式で最大201点計算します。

入力

正の整数または半整数を0.5刻みで入力します。参照既定1/2は0.5と入力してください。

第0点のxです。-50以上50以下で、最終点も同じ範囲へ収まるよう刻みと点数を選びます。

隣り合う点の差です。正なら昇順、負なら降順です。0は同じxの重複列になるため使用できません。

初期値を第0点として数える1〜201点です。参照ページの繰返回数に対応し、端点を含みます。

使い方

  1. 量子数Jを0.5以上の整数または半整数で入力します。参照フォームの既定1/2は数値0.5に対応し、このときB_(1/2)(x)=tanh(x)になります。
  2. xの初期値、0以外の増分、1〜201点のサンプル点数を入力します。既定では−5から5まで0.1刻みで、x=0が中央の行に入ります。
  3. 計算ボタンでブリルアン関数を描き、奇関数の符号、原点の連続値、正負の飽和方向をグラフと表の両方で確認します。
  4. 検算や再描画にはTSVコピーを使います。関数名、J、x格子、丸め前の表値を保存し、材料固有の係数や単位を掛けた物理モデルとは区別してください。

計算式・考え方

a=(2J+1)/(2J)、b=1/(2J)としてB_J(x)=a coth(ax)−b coth(bx)です。x=0は連続値0、|x|<0.005ではB_J(x)=(a²−b²)x/3−(a⁴−b⁴)x³/45+O(x⁵)を使います。それ以外はcoth z=1+2/expm1(2z)の同値形を符号に合わせて使い、e^u−1は共有expm1で直接評価します。

注意事項

  • Jは正の整数または半整数です。本ページは一般の正実数を通さず2Jが整数かを検証します。参照フォームは文字列1/2を受けますが、WordPressの数値入力と端末内ASTを安全に保つため0.5と入力する設計です。
  • x=0では二つのcoth項が個別には発散しますが、1/xの特異項が相殺されB_J(0)=0です。直接式を原点近くで引き算すると桁落ちするため、奇数べきの級数へ先に分岐します。
  • J=1/2ではB_(1/2)(x)=tanh(x)となります。既定グラフは−5から5で、中央0、左右の奇対称、±1への飽和を既知のtanh値と比較できる検算用設定です。
  • Jを大きくするとB_Jはランジュバン関数L(x)=coth x−1/xへ近づきます。ただし有限Jを上限値へ切り詰めて無限大とみなさず、厳密な古典極限は別のランジュバン関数ページで計算します。
  • この関数は無次元の応答曲線です。常磁性体の磁化へ使う場合、xの定義には磁気モーメント、磁場、Boltzmann定数、温度などが入り、関数外にも飽和磁化の係数が必要です。
  • |x|が大きいと正側は1、負側は−1へ近づきます。小さいb|x|ではexp(2b|x|)−1の引き算が桁落ちするため共有expm1を使い、J=10000までの小さいbでも差分情報を保ちます。有限範囲−50〜50では指数もオーバーフローしません。
  • 小引数級数は|x|<0.005の有界範囲だけで使い、x³項の次の誤差を十分小さく保ちます。格子点が原点をまたぐ場合でも、x=0を未定義や巨大値へ置換せず曲線を連続して表示します。
  • NIST DLMF 4.28の双曲線関数定義と4.33のMaclaurin/Laurent展開を2026年7月13日に確認し、cothの指数形と原点近傍係数を照合しました。
  • J=1/2のtanh恒等式、奇対称性、J→∞のLangevin極限を2026年7月13日に独立導出し、参照フォームPOSTのJ=1/2、x=−1,0,1とも比較しました。
  • サンプル番号iを0から点数−1まで取り、x_i=x初期値+i×x増分で作ります。点数には初期値と最終点の両方を含みます。増分を負にするとxは降順になり、同じ関数を右から左へ確認できます。増分0は参照ページで表列が崩れるため明示的に拒否します。
  • 点数は1〜201へ有界化しています。線は隣接する計算点を視覚的に結ぶもので、点の間を追加評価した結果ではありません。急な折れ曲がりや飽和域を調べるときは、区間を狭めるか点数を増やし、重要なxが格子点に含まれるよう初期値と増分を選んでください。
  • グラフが主結果ですが、色や線だけに依存しない同値のデータ表を必ず併記し、全行をTSVとしてコピーできます。表のxと各系列値が正本で、グラフはその可視化です。スクリーンリーダーでは結果の要約、列見出し、行データの順に確認できます。
  • 式はschema v4のsampled-series-v1で各xを独立評価します。許可制ASTと既存named functionだけを使い、eval、new Function、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketへ接続しません。入力と生成系列は利用者の端末内だけで処理され、サーバーや第三者へ送信・保存されません。
  • グラフの形だけで学習性能、確率モデルの適合、工学現象の妥当性は判断できません。関数名、パラメータ、入力尺度、浮動小数点精度を合わせ、必要なら表の代表点を別実装と数値比較してください。低精度テンソルや量子化モデルでは倍精度の本ページと末尾桁や飽和開始位置が異なる場合があります。
  • 実数関数を有限格子で標本化した学習・検算用グラフです。モデル性能、統計的適合性、設計安全性を判定しません。

よくある質問

x=0で式に0除算があるのに値が0なのはなぜですか？

個々のcoth項は発散しますが、差を取った関数全体には有限な連続極限があります。実装はx=0を先に0へ分岐し、近傍は級数で評価します。

負のxも計算できますか？

はい。実数上の奇関数なのでF(−x)=−F(x)です。負の増分で右から左へ並べても同じ数値規約を保ちます。

グラフ値を磁化そのものとして使えますか？

そのままでは使えません。ここで返すのは無次元の関数値です。磁化モデルには飽和磁化、温度、磁場、磁気モーメントなど別の係数と前提が必要です。

201点を超える表を一度に作れますか？

一度には作りません。端末負荷と読みやすさのため201点上限とし、必要ならx区間を分割してTSVを結合してください。

入力した数値と生成した系列は端末内だけで計算・表示されます。外部へ送信・保存せず、氏名、モデル名、測定データなどの個人情報・機密情報を入力する欄もありません。