F分布の密度・下側累積・上側累積グラフ（分子・分母の自由度）

使い方

1. 確率密度f、下側累積P、上側累積Qから表示する関数を選び、分子自由度ν1と分母自由度ν2を順番どおり入力します。
2. x格子を非負範囲で指定します。既定は0から5まで0.1刻みの51点で、原点付近の山と右裾を確認できます。
3. 他ソフトと比較するときはdfn=ν1、dfd=ν2と関数f/P/Qを揃えます。二つの自由度を入れ替えた分布は同じではありません。

計算式・考え方

x>0、ν1,ν2>0でf=Γ((ν1+ν2)/2)(ν1/ν2)^(ν1/2)x^(ν1/2−1)/[Γ(ν1/2)Γ(ν2/2)(1+ν1x/ν2)^((ν1+ν2)/2)]です。全係数をlog Γ、log、加減算で組み立てます。x=0はν1>2で0、ν1=2で1、ν1<2で発散します。z=ν1x/(ν2+ν1x)としてP=I_z(ν1/2,ν2/2)、Q=I_(1−z)(ν2/2,ν1/2)を直接評価します。

注意事項

• F分布は独立な二つのカイ二乗変数をそれぞれの自由度で割り、その比を取った分布です。ν1は分子、ν2は分母に対応し、順序を交換すると一般に別の曲線になります。NIST/SEMATECH e-HandbookとSciPy公式scipy.stats.fの標準密度式で、この引数順と位置0・尺度1を照合しました。
• F変数XがF(ν1,ν2)に従うとき、1/XはF(ν2,ν1)に従います。ただし密度値を単純に左右反転する関係ではなく、変数変換のJacobian 1/x²が必要です。グラフを逆数軸として読み替えず、必要なら交換した自由度と逆数格子で別に計算してください。
• 原点の挙動は分子自由度ν1だけで決まり、ν1<2なら発散、ν1=2なら密度1、ν1>2なら0です。既定ν1=3では原点0から内側の山へ立ち上がります。発散する設定では原点を大きな有限値へ切り詰めず、未定義セルとして第1正点から線を描きます。
• 平均はν2>2でν2/(ν2−2)、分散はν2>4でのみ有限です。ν2が小さいと右裾が非常に厚くなります。上側Qを選べば各xの右側面積を確認できますが、指定有意水準から臨界値を逆算する機能や検定条件の自動判定はありません。
• 上側Qはw=ν2/(ν2+ν1x)と形状順を入れ替えたI_w(ν2/2,ν1/2)を直接評価します。大きいxでPが1へ丸まる場合も、Qを1−Pだけから作らないため小さい右裾の有効桁を保ちやすくなります。
• 確率密度f(x)は一点の発生確率ではなく、連続分布の一点確率は0です。下側累積P(x)はX≤xの左側面積、上側累積Q(x)はX>xの右側面積で、同じxならP+Q=1です。fは密度、PとQは0〜1の確率なので、縦軸の高さを三つの関数間で直接比較しないでください。
• 標本番号i=0,…,n−1についてx_i=x初期値+i×x増分を評価します。線は隣接する有限標本値を視覚的に結ぶだけで、その間を追加計算したものではありません。山頂や急変部を詳しく見るときは範囲を狭めて刻みを細かくし、重要なxが格子へ含まれるように調整してください。
• 点数は端末負荷を一定に保つため1〜201点へ有界化しています。増分を負にすると同じ支持域を右から左へ確認でき、1点だけの評価も可能です。増分0と支持域外へ出る最終点は、重複表や無意味な延長を作らないよう送信前の項目エラーとして示します。
• 支持域端点で密度の極限が有限なら0または解析値を返します。一方、形状母数によって+∞へ発散する端点は最大値や大きな有限値へ置き換えず、そのセルを「未定義」として線を切ります。これは式の不具合ではなく密度関数の特異性であり、端点直後の正のxを含めると曲線の立ち上がりを確認できます。
• 密度は対数形で組み立て、最後にexpを一度適用します。xのべき、Gamma関数、尺度係数を先に巨大な積や商へするとオーバーフローしやすいためです。それでも倍精度より小さい裾は0へ丸まり得ます。0は必ずしも数学的に厳密な0ではないので、極端な尾の対数密度が必要な用途には使わないでください。
• 累積P・Qは正則化不完全GammaまたはBeta関数の安定な向きを直接評価します。小さい上側確率を常に1−Pだけで作ると、Pが倍精度で1へ丸まった時に有効桁を失います。Gamma系は専用Q、Beta系は引数と形状を入れ替えた対称式を使い、t分布はxの符号で小さい側を直接選びます。
• グラフが主結果ですが、色や形だけに依存しない同値の表を併記し、全行をTSVでコピーできます。数値照合では画像の高さではなく表のxと選択した関数値を正本にしてください。表示は最大15有効桁で、異なるライブラリ、CPU、母数範囲では丸め順によって末尾桁が異なる場合があります。
• 計算はschema v4のsampled-series-v1と許可制ASTを使い、各xを利用者の端末内で独立評価します。eval、new Function、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketは使用しません。入力値と生成系列は外部へ送信・保存されず、WordPressへの書込み、下書き作成、公開も行いません。
• 密度・累積・上側確率の式と母数化は2026年7月13日にNIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods、NIST Engineering Statistics HandbookおよびSciPy公式scipy.statsリファレンスで照合しました。参照ページの既定格子は保ちつつ、静止画像ではなく再計算できるSVG、表、TSVへ置き換えています。
• 指定した理論分布・母数の密度・累積グラフです。データへの適合、母数推定、仮説検定、医療・品質・監査上の結論を保証しません。

よくある質問