Gauss超幾何関数₂F₁(a,b;c;z)の複素数計算

使い方

1. 複素パラメータa、b、c、引数zを、それぞれ実部と虚部に分けて8欄へ入力します。
2. 計算ボタンを押し、₂F₁の実部、虚部、絶対値、principal argumentを同じ結果行で確認します。
3. 別資料と比べるときはcの極からの距離、終了形か非終了形か、zのbranch cutの側を記録します。

計算式・考え方

₂F₁(a,b;c;z)=Σ_(k≥0)(a)_k(b)_k z^k/{(c)_k k!}を基礎とし、監査域では直接級数、Pfaff変換、または低次終了多項式を使います。NIST DLMF §15.2 https://dlmf.nist.gov/15.2 と§15.8 https://dlmf.nist.gov/15.8 を照合しました。

注意事項

• Gauss級数はz=0の周りの基本定義です。一般非終了形を全複素平面へ無条件に広げず、|z|≤0.75の直接経路か、w=z/(z−1)が|w|≤0.75になるPfaff経路だけを公開します。
• aまたはbが0から−8までの厳密な非正整数なら有限多項式になります。ほぼ整数の値を丸めて終了形へ変えず、虚部が厳密に0で実部が対象整数の場合だけ有限次数を採用します。
• c=0,−1,…,−8は標準₂F₁の極に関わるため、複素距離0.05未満を拒否します。分子が終了して見かけ上相殺できる場合も、別のlimit interpretationを標準値として自動採用しません。
• 非終了形のprincipal branchは実軸1から正の無限大へcutを持ちます。exact cut上を上側値または下側値へ勝手に寄せず、虚部0のz≥1を拒否します。終了多項式ではcutが消えるため有限和として扱えます。
• Pfaff変換では(1−z)の複素冪をprincipal Logで評価します。a側とb側の2候補、直接級数を作れる場合は項絶対値和から丸め感度を比較し、最も安定と見積もった有限候補を選びます。
• NIST DLMF §15.10 https://dlmf.nist.gov/15.10 はz=0、1、∞を微分方程式の特異点として示し、§15.19 https://dlmf.nist.gov/15.19 は収束と変換の数値上の注意を扱います。z=1近傍を通常点として補間しません。
• a=b=1、c=2では₂F₁(1,1;2;z)=−Log(1−z)/zです。z=0.5+0.25iの既知値と、z=−3で|z/(z−1)|=0.75になるPfaff境界を独立閉形式で検算できます。
• 終了例a=−3、b=2、c=4、z=10iでは−89+185iです。大きな|z|でも有限多項式なら級数収束を待たず計算できますが、公開上限|z|≤10とcの極距離は維持します。
• 定義級数はaとbを交換しても変わらないため、₂F₁(a,b;c;z)=₂F₁(b,a;c;z)が成り立ちます。同じ入力をa・bだけ入れ替えて再計算する確認は、実部と虚部の欄対応やPochhammer係数の順序ミスを見つける簡単な方法です。ただし数値経路が別候補を選ぶ場合、最終桁まで文字列が同一とは限らず許容誤差内で比較します。
• z=0ではすべての許可パラメータに対して₂F₁(a,b;c;0)=1です。またcが極から離れていれば原点での微分はab/cになります。この二つは複素入力でも使える局所検算ですが、zが大きい場合の解析接続やbranchの選択まで保証する式ではありません。原点の恒等式だけを根拠に公開域外へ級数を延長しません。
• 結果表の絶対値は√(Re²+Im²)、主偏角はatan2(Im,Re)で−πからπの範囲に整理されます。関数値が0なら偏角は定義できないため空欄になります。極形式へ変換するときは角度がradであることを保ち、度へ直す場合だけ180/πを掛けてください。負の実軸付近では小さな虚部の符号で偏角が約πと約−πへ分かれます。
• 定義、変換、branchは2026年7月16日にDLMFで確認しました。任意精度、z=1近傍の接続公式、cut両岸の極限、ODEの第2独立解、零点探索は初回版に含めません。
• 複素Gauss超幾何関数₂F₁(a,b;c;z)について: 表示値はIEEE 754 binary64を基礎とする有限精度の近似値です。最大有効桁を表示しても全桁が数学的に保証される意味ではなく、零点付近、極付近、大きな相殺がある入力では相対誤差が増える場合があります。
• 複素Gauss超幾何関数₂F₁(a,b;c;z)について: 入力欄の上下限は単なる画面上の目安ではありません。独立した高精度oracleと境界探索で監査した公開域であり、範囲外を最後の有限値へ丸めたり、計算途中の値を成功結果として表示したりしません。
• 複素Gauss超幾何関数₂F₁(a,b;c;z)について: この計算器は外部API、外部CDN、fetch、XMLHttpRequest、WebSocket、eval、new Functionを使用しません。数値計算と結果表の組み立ては利用者のブラウザ内で完結し、共有サーバーへ数値計算の負荷を移しません。
• 複素Gauss超幾何関数₂F₁(a,b;c;z)について: 端末内計算でも、古いブラウザ、改変されたJavaScript、拡張機能の干渉、極端な省電力設定まで保証するものではありません。重要な研究、設計、試験、規格適合では別実装と一次資料を使って再計算してください。
• 複素Gauss超幾何関数₂F₁(a,b;c;z)について: 結果のコピー機能は表示値の転記を助けますが、単位、関数種、入力条件までは自動で保存しません。再現性が必要なら、入力一式、確認日、ページ名、表示された値を同じ記録へ残してください。
• 複素Gauss超幾何関数₂F₁(a,b;c;z)について: 出典URLは定義と数値上の注意を確認するための一次資料です。参照ページの説明文や実装を複製せず、入力意図だけを同定し、式、公開域、例、注意、FAQは監査結果に基づいて独自に作成します。
• |a|,|b|,|c|≤8、|z|≤10のうち監査済み級数・Pfaff・終了形だけをbinary64評価します。任意精度と一般解析接続は扱いません。

よくある質問