Jacobi連続振幅am(u,k)をグラフ・表計算

使い方

1. modulus kとuの初期値、増分、点数を入力します。
2. 連続振幅am(u,k)のグラフと数値表を生成し、u=0と正負対称性を確認します。
3. 別ソフトと比較するときはamを±πへ折り返しているか、連続枝を返すかを先に確認します。

計算式・考え方

u=F(φ,k)を満たす連続振幅をam(u,k)=φとします。sn(u,k)=sin(am(u,k))、cn(u,k)=cos(am(u,k))、dn(u,k)=∂am/∂uです。本ページはam(u+2K,k)=am(u,k)+πとなる連続な実数枝を描きます。

注意事項

• 参照canonicalは|am|≤πと掲示し、大きなuを折り返します。しかしDLMFの実数Jacobi amplitudeはFの連続逆としてam(u+2K)=am(u)+πを満たします。折返しでは導関数dnとの関係に人工的な跳びが生じるため、本ページはscalar版と同じ連続枝へ訂正しています。
• k=0ではF(φ,0)=φなのでam(u,0)=uです。|k|=1ではam(u,±1)=gd(u)=atan(sinh u)となり、±π/2へ漸近します。一般の|k|<1では傾きdnが正なので、連続振幅は単調増加します。
• amだけを±πへ正規化したい用途では、元の連続値を保持したうえで表示側で合同類を取ってください。位相の折返し規約は用途ごとに異なるため、この計算結果自体を黙って変更しません。
• この3ページで使うkはJacobi楕円関数と完全楕円積分のmodulusです。ライブラリによってはparameter mを入力するため、その場合はm=k²へ変換します。k=0.8とm=0.8は同じ条件ではなく、このページのk=0.8はm=0.64に対応します。比較結果を保存するときは関数名、横軸、kまたはmのどちらを使ったかを併記してください。
• 計算は入力検証から最大201点の生成、SVGグラフ、代替数値表、TSV作成までブラウザ内だけで完結します。外部API、サーバー計算、CDN、fetchは使いません。点数に固定上限を設け、各標本のAGMまたはCarlson反復にも固定上限を置き、収束しない値を無制限に追い掛けません。
• 第1種完全楕円積分Kは|k|=1で発散します。端点を含む系列ではKだけを未定義として線を分断し、同じ点のE=1は残します。非常に大きな有限値、Infinity、0などへ置き換えないため、表の空白は計算漏れではなく発散点を明示したものです。グラフだけでなく数値表も合わせて確認してください。
• Jacobiのsn、cn、dnはsn²+cn²=1およびdn²+k²sn²=1で相互検算できます。振幅amはsn=sin(am)、cn=cos(am)、dn=∂am/∂uを満たします。個々の値だけでなく、格子全体で恒等式の残差、u=0の値、正負の対称性を調べると実装や母数指定の取り違えを見つけやすくなります。
• 表示はbinary64の最大15有効桁です。式、入力値、丸め方式が同じでも末尾数桁は別ソフトと異なる場合があります。周期や零点を読む用途では、グラフのピクセル位置だけを根拠にせずTSVの数値を確認し、必要なら増分を小さくして対象区間を狭めてください。これは任意精度計算や数学的証明を代替するものではありません。
• 検算は一つの既定値だけで終えず、原点、許可端点、正負の対称点、周期の中央を含む小さな格子でも行います。完全楕円積分ではK(0)=E(0)=π/2と偶対称性、Jacobi関数ではu=0のsn=0、cn=dn=1をまず確認します。次に別実装へparameter m=k²を正しく渡し、各行の絶対誤差と相対誤差を比較します。関数名が一致しても母数規約や振幅の枝が違えば、数値精度とは別の系統差になります。
• 格子の最終値は初期値+増分×(点数−1)で決まります。初期値だけが範囲内でも、途中や最終点が範囲外になる設定は入力間制約で拒否します。増分には負数も使えるため、右から左へ調べることもできますが、0は同じ点を繰り返すだけなので拒否します。広い区間を粗く描いて特徴を把握した後、注目区間を狭くして点数を再配分すると、201点の上限内でも効率よく変化を確認できます。
• グラフは連続性を理解する補助であり、標本点の間を新たに高精度計算しているわけではありません。急な変化、発散点の近傍、短い周期を含む場合は線分が真の曲線を十分に表さないことがあります。代替表には実際に計算した横軸と値だけを載せ、未定義セルを明示します。TSVへ出した値を再利用するときも、空白を0へ自動変換せず、定義域と標本間隔をメタデータとして残してください。
• 定義と実数域はNIST Digital Library of Mathematical Functionsの§19.2、§19.25、§22.2、§22.6、§22.16、§22.20を2026年7月13日に照合しました。複素引数、|k|>1の変換、多価逆関数、発散値の正則化は扱いません。有限な通常実数値だけを返す範囲を入力欄と注記で明示します。
• 有界な倍精度の実数グラフです。発散値、複素値、任意精度計算は扱いません。

よくある質問