一般化パレート分布のPDF・下側P・上側Qを計算

使い方

1. 一般化パレート分布の前向き確率関数の入力記号とパラメータ化を数式欄で確認します。
2. 有限の数値を同じ単位系で入力し、累積モードがある場合はP・Q・Iの向きを先に選びます。
3. 計算後、PDF、累積確率、分位点のどれを見ているかを結果ラベルで確認します。
4. 別ソフトと照合するときは、支持範囲、location・scale・shape、下側・上側の規約を揃えます。

計算式・考え方

u=ξ(x−μ)/σ。ξ≠0ではQ=(1+u)^(−1/ξ)、P=1−Q、f=(1/σ)(1+u)^(−1/ξ−1)。ξ=0ではQ=exp[−(x−μ)/σ]。

注意事項

• 一般化パレート分布の前向き確率関数では、位置μ、正の尺度σ、形状ξを使うPickands型で、ξ=0を指数分布の連続極限として扱います。同じ名称でも文献ごとに定義が違う場合があるため、名前だけで入力を移さず、変換式、尺度、累積方向を一緒に保存してください。
• 支持範囲と境界は、x≥μかつ1+ξ(x−μ)/σ≥0で、ξ<0は有限上端、ξ=0は指数尾、ξ>0は重い無限尾です。支持範囲外を有限値へ丸めたり、無限密度を大きな代替値へ置換したりせず、入力検証または明示した境界分岐で閉じます。
• 採用式は、u=ξ(x−μ)/σ。ξ≠0ではQ=(1+u)^(−1/ξ)、P=1−Q、f=(1/σ)(1+u)^(−1/ξ−1)。ξ=0ではQ=exp[−(x−μ)/σ]。。計算はschema v3のdeclarative-v1 ASTで決定的に行い、共有runtime 1.6の標準正規・erf・ln・expだけを使用します。外部APIや動的コード評価は使いません。
• 数値安定性について、小さいuではlog1pの5次級数、小さい累積値ではexpm1相当の5次級数を使います。CDFの補数差、小さいlog(1+u)、小さいexp(t)−1、定義境界の0除算は、用途別のSF直呼び、低次の有界テイラー分岐、遅延ifで処理します。
• 結果の解釈は、ξの符号が上端と裾の型を変え、PDF一点だけでは超過モデルの適合性を判断できません。PDFは一点が起きる確率ではなく曲線の高さで、連続分布の区間確率はCDF差です。分位点は指定した分布とパラメータが正しい条件下の位置です。
• 通常確認例は、μ=1、σ=2、ξ=0.2、x=3では基底1.2からP・Q・PDFを求めます。通常点だけでなく、中心・左端・shape=0・有限上端などの境界と、範囲外・尺度0・不正モードを独立ケースに固定しています。
• 式の照合には、NIST Dataplot『Generalized Pareto CDF/PDF』とNISTのPeaks Over Threshold資料を使用しました。NIST/DLMF資料は関数定義、対称性、支持範囲、逆変換の根拠として参照し、説明文、入力上限、FAQ、テスト値はこの実装向けに独自作成しています。
• 対象外は、閾値選定、形状推定、標準誤差、戻り値期間、極値リスク判断は含みません。データからの分布選択、パラメータ推定、標準誤差、適合度、外れ値、打切り、依存性、将来値保証は別の解析課題です。
• 確率端点0と1は無限支持分布の分位点を無限遠へ送るため、有限倍精度の分位点入力では端から0.000000000000001を空けます。さらに極端な尾部は対数確率専用engineと誤差評価を使ってください。
• 表示は最大十五桁の有効数字で整えますが、途中式を表示桁へ丸めません。Python式、ブラウザJavaScript式、公式の独立式を通常・境界・裾で照合し、同じ入力に対する実装間差をテストします。
• 計算はブラウザ内だけで完結し、入力値を送信・保存しません。CDN、fetch、WebSocket、日時、乱数、地域設定へ依存せず、同じ定義とruntimeなら同じ倍精度結果を返します。
• リスク区分はR1で公開前の人手確認を必要とします。確率値や極値モデルだけで品質合否、安全限界、故障時期、金融損失、診断を断定せず、用途固有の基準と専門的検証を優先してください。
• 指定した分布・変換・パラメータを仮定する一点計算です。モデル適合、推定誤差、個別結果を保証しません。

よくある質問