第1種不完全楕円積分 F(φ,k) 計算

使い方

1. φと度・ラジアンを選び、−1≤k≤1を入力します。既定値は60度、k=0.9です。
2. 入力条件を確認し、「計算する」を押します。結果欄には楕円積分の無次元値を表示します。
3. kをparameter mで与えられた資料と比較するときは、m=k²へ換算してから照合します。
4. 結果をコピーする場合は関数名、入力値、角度単位、確認日も一緒に記録してください。

計算式・考え方

F(φ,k)=∫[0,φ] dθ/√(1−k²sin²θ) を計算し、φのπ周期区間を完全積分で延長します。

注意事項

• 被積分関数はπ周期なので、φ=mπ+rへ還元しF(φ,k)=2mK(k)+F(r,k)とします。rを[−π/2,π/2)へ収めることで±360度でも周期数を失いません。
• |k|<1なら±2πまで連続です。|k|=1ではθ=±π/2に特異点があるため、経路がそこへ達しない|φ|<π/2だけを許可します。度とラジアンの選択違いも入力制約で検出します。
• 振幅形式は単振り子やJacobi振幅の式を角度のまま検算するときに便利です。φは楕円上の幾何学的な偏角と常に同じとは限らず、積分の振幅である点を式から確認してください。
• 比較対象canonicalは180度を入れるとx=sinφ=0へ単純化して0を返しますが、定義積分ではF(π,k)=2K(k)です。本ページはDLMF §19.2.10の周期延長を採用し、この不具合を修正しています。
• 60度、k=0.9ではF=1.23344632545234401でcanonical POSTと一致します。180度、k=0.5では0ではなく2K(0.5)=3.3715007096251925です。
• 周期延長はF(φ+π,k)=F(φ,k)+2K(k)、奇関数性F(−φ,k)=−F(φ,k)で検算します。90度ではK(k)、180度では2K(k)、360度では4K(k)です。終点のsinφだけを見る方法ではこれらがすべて0または±1へ潰れるため不十分です。
• 度入力は内部でφ×π/180へ変換します。たとえば60度とラジアン1.0471975511965976は同じ結果です。角度欄へ60と入れたままラジアンを選ぶと範囲外になるため、単位選択を結果と一緒に保存してください。負のφは逆向きの積分として負値になります。
• 第1種不完全楕円積分 F(φ,k)について: この計算は入力から結果表示までブラウザ内で完結します。外部APIへ入力値を送らず、サーバー側で数値積分を繰り返しません。固定回数上限を持つCarlson対称積分の重複法を使うため、端末の計算資源だけで応答し、通信状態に左右されず検算できます。
• 第1種不完全楕円積分 F(φ,k)について: 記号kはLegendre楕円積分の母数modulusです。SciPyやMATLABなど一部の資料・関数が使うparameter mとはm=k²の関係です。たとえばこのページでk=0.5を指定すると、mを取る関数には0.25を渡します。kとmの取り違えは数値不一致の代表原因です。
• 第1種不完全楕円積分 F(φ,k)について: 数値計算はNIST DLMF §19.25のLegendre積分とCarlsonのRF、RD、RJの関係を用い、§19.36の重複法に沿って差を反復的に縮小します。反復は64回を上限にし、収束しない値を近似値へ黙って置き換えません。式と計算法は2026年7月13日に照合しました。
• 第1種不完全楕円積分 F(φ,k)について: 表示値はJavaScriptのIEEE 754 binary64相当で最大15桁に整形します。特異点へ近づくほど関数値と条件数が大きくなり、入力末尾の小さな差が結果へ強く反映されます。高精度論文や任意精度計算を置き換えるものではなく、通常精度の設計・学習・実装検算向けです。
• 第1種不完全楕円積分 F(φ,k)について: このページは有限な通常の実積分を対象とします。複素数への解析接続、分母の極をまたぐCauchy主値、発散積分へ便宜的な有限値を割り当てる処理は行いません。入力条件を満たさない場合は対象欄を明示して停止するため、結果だけを見て定義域外に気づかない事故を防げます。
• 第1種不完全楕円積分 F(φ,k)について: 楕円積分は単振り子の周期、楕円弧長、電磁気、弾性、確率分布の変数変換などに現れます。ただし実際の物理量へ適用するときは、無次元化、単位、境界条件、採用するkまたはmの規約を元の式で確認してください。この計算値だけで安全率や設計可否を決めないでください。
• 第1種不完全楕円積分 F(φ,k)について: 実際の検算では、まず既定値を計算して表示桁と入力規約を確認し、次にゼロ、符号反転、完全積分へ戻る端点など既知の関係を一つずつ試します。その後で目的の入力を計算し、結果を別のソフトへ渡すときは画面表示を手入力せずコピーボタンを使います。末尾桁の差は二進浮動小数と表示丸めで生じるため、全桁一致だけを合否基準にせず、絶対誤差と相対誤差、特異点からの距離を併記してください。同じ値を再現するには関数の種類、引数順、kかmか、角度単位、使用した桁数を記録します。
• 有限な通常の実数楕円積分を学習・検算するツールです。Cauchy主値、複素値、任意精度は扱いません。

よくある質問