Legendre関数Pν(z)・Qν(z)の複素数計算

使い方

1. 実数次数νを−0.5以上4以下、複素引数zを実部1.25以上4以下と虚部−2以上2以下に分けて入力します。自由記述の複素数文字列ではないため、iとj、全角記号、符号付き0の解釈差を持ち込みません。
2. 計算後はPν(z)とQν(z)を別々の行で読み、各行の実部、虚部、絶対値、principal argumentを横に確認します。主偏角の単位は度ではなくradです。
3. 別資料へ転記するときは、標準P・標準Qであること、次数ν、zの実部と虚部、principal branch、cut外の右半平面で評価したことを数値と一緒に記録します。

計算式・考え方

Legendre方程式(1−z²)y″−2zy′+ν(ν+1)y=0のprincipalな独立解Pν(z)、Qν(z)を返します。NIST DLMF §14.2 https://dlmf.nist.gov/14.2 の微分方程式と§14.21 https://dlmf.nist.gov/14.21 の複素branchを照合しました。

注意事項

• PνとQνは同じLegendre微分方程式を満たす二つの標準解です。一般の実数次数νでは、どちらも単に有限個の係数を並べた多項式とは限りません。特にQνは整数次数でも対数を含む第2種解であり、Pνと同じ値を別表記しているわけではありません。
• 非負整数ν=nのときPν(z)はLegendre多項式P_n(z)へ一致します。しかし、入力νを近い整数へ丸めて多項式計算へ置き換えることはしません。ν=0.999とν=1は別の関数であり、次数の連続依存を保ったままGauss超幾何表示で評価します。
• 第1種はw=(1−z)/2としてPν(z)=₂F₁(−ν,ν+1;1;w)から求めます。公開長方形ではw自体が直接級数域を外れる場合もありますが、Pfaff写像w/(w−1)=(z−1)/(z+1)の絶対値が必ず監査済み上限0.75以下に入ります。変換後の複素べきにはprincipal Logを使います。
• 第2種QνはDLMF §14.3 https://dlmf.nist.gov/14.3 の標準Q表示をμ=0として用い、超幾何引数1/z²を直接級数で評価します。この公開域では|1/z²|≤0.64なので、有界反復で収束確認できます。Olverが用いる太字の正規化Qとは区別し、行名にも標準Qであることを反映しています。
• 複素引数に対するprincipal branchのcutは実軸の(−∞,1]です。参照元のようにz=0.5へ側の指定なしで一つの値を返すと、上側・下側境界値やFerrers関数の規約が混ざります。本ページはRe(z)≥1.25に限定し、cutから正の距離を確保して曖昧な側選択を避けます。DLMF §14.23 https://dlmf.nist.gov/14.23 も照合しました。
• 公開域−0.5≤ν≤4、1.25≤Re(z)≤4、|Im(z)|≤2は、P側がPfaff経路、Q側が直接級数経路へ確実に入るよう選んだ数値契約です。大次数、左半平面、z=±1近傍へ無断で解析接続せず、監査済み候補が有限性と丸め感度の判定を通らなければ結果を表示しません。
• ν=0ではP₀(z)=1、Q₀(z)=Log((z+1)/(z−1))/2です。z=2ならQ₀(2)=0.5493061443340549となり、初等関数だけで独立に検算できます。この恒等式は実装の強い確認点ですが、任意のνやcutをまたぐbranchまで一つの例で保証するものではありません。
• canonical再現例ν=0.5、z=2+0.5iではPν(z)≈1.336329723244268+0.145736699169973i、Qν(z)≈0.189101829580514−0.086789054621426iです。複素値を実数一列へ押し込まず、符号を含む虚部を独立欄で保持します。
• 上限例ν=4、z=4+2iではPが約−534.625+1620iまで大きくなる一方、Qは10の−5乗程度です。同じ入力で二つの独立解の桁が大きく違っても異常とは限りません。PとQの値を加算して一つの代表値にしたり、小さいQを0へ丸めたりしません。
• NIST DLMF §15.2 https://dlmf.nist.gov/15.2 のGauss級数と§15.8 https://dlmf.nist.gov/15.8 のPfaff変換を数値核の根拠にしています。各候補は最大512項で打ち切り、項絶対値和から丸め感度を推定します。収束判定を満たさない候補を最後の部分和として返しません。
• 整数次数のPだけを−1≤x≤1で描くLegendre多項式ページ、整数次数・位数のFerrers Type A/Bページ、正規化を含む球面調和関数ページは用途と規約が異なります。このページは一般実数次数、cut外の複素z、標準Pと標準Qの組を扱い、既存の整数Ferrers核を流用しません。
• 定義、branch、Gauss表示、公開域は2026年7月16日にNIST DLMFと高精度oracleで確認しました。零点探索、導関数、任意精度、cut両岸の極限、Ferrers関数、用途固有の境界条件は初回版に含めません。
• 複素Legendre関数Pν(z)・Qν(z)について: 表示値はIEEE 754 binary64を基礎とする有限精度の近似値です。表示桁数は数学的な保証桁数ではなく、零点付近、非常に大きい値と小さい値が同居する入力、差し引きによる相殺が強い入力では有効桁が減る場合があります。重要な用途では任意精度実装と一次資料でも照合してください。
• 複素Legendre関数Pν(z)・Qν(z)について: 入力欄の上下限と連動制約は、独立した高精度oracle、境界格子、seeded random点で監査した公開域です。範囲外を最も近い許可値へ丸めたり、反復途中の有限値を成功結果として返したりせず、監査した数値経路が成立しない場合はfail-closedで停止します。
• 複素Legendre関数Pν(z)・Qν(z)について: 数値計算、複素数演算、結果表の生成は利用者のブラウザ内で完結します。外部API、外部CDN、fetch、XMLHttpRequest、WebSocket、WASM、eval、new Functionを使わず、入力値を共有サーバーへ送って計算負荷を移しません。
• 複素Legendre関数Pν(z)・Qν(z)について: 結果表の絶対値はhypot(Re,Im)、主偏角はatan2(Im,Re)で計算し、角度単位はradです。値が厳密に0なら偏角は定義できないため空欄になります。負の実軸近くでは微小な虚部の符号により偏角がπ側と−π側へ分かれる点に注意してください。
• 複素Legendre関数Pν(z)・Qν(z)について: コピー機能は表示表の転記を助けますが、関数規約、branch、入力域、確認日まで自動保存するものではありません。再現性が必要なら次数、位数、zの実部と虚部、関数名、principal branchを採用したこと、表示値を同じ記録へ残してください。
• 複素Legendre関数Pν(z)・Qν(z)について: このページは数学関数の値を返す計算補助です。ポテンシャル問題、電磁場、アンテナ、量子力学などのモデルで、境界条件、正規化、物理単位、採用すべき独立解を自動決定しません。用途固有の式へ代入する前に、その資料の記号と規約を照合してください。
• principal branchの右半平面安全域に限定したbinary64近似です。cut、任意精度、導関数、零点探索は扱いません。

よくある質問