Legendre多項式P_n(x)を最大201点でグラフ・表計算

使い方

1. 次数nと−1〜1のx格子を入力します。既定はn=3、0.02刻み101点です。
2. P_n(1)=1、P_n(−1)=(−1)^nと偶奇対称を確認します。
3. P_3(x)=(5x³−3x)/2なので−1,0,1で−1,0,1を検算します。

計算式・考え方

P_0=1、P_1=x、(k+1)P_(k+1)=(2k+1)xP_k−kP_(k−1)です。微分方程式(1−x²)y''−2xy'+n(n+1)y=0を満たし、重み1で−1〜1に直交します。

注意事項

• NIST DLMF §18.3・§18.9とSciPy公式eval_legendreを2026年7月13日に確認しました。標準P_nで、orthonormal化や陪関数の位相は含みません。
• Legendre多項式はJacobi P_n^(0,0)、Gegenbauer C_n^(1/2)と一致します。同じ値へ至る族間関係は実装検算に使えますが、一般のα、β、λで同一ではありません。球面調和関数で現れる陪Legendre P_n^mは次数に加えて位数mと位相規約が必要な別関数です。
• |x|≤1では|P_n(x)|≤1ですが、区間外では急速に増えます。本ページは直交区間−1〜1へ限定します。高次数の零点はGauss–Legendre求積に使われますが、線グラフの交点は厳密な節点ではないため、求積には専用の高精度節点を使ってください。
• サンプル番号i=0,1,…,点数−1に対しx_i=x初期値+i×増分を作ります。増分を負にすると右から左へ確認できます。点数は1〜201、次数は0〜128へ有界化し、最終点も関数ごとの許可範囲へ収めます。線は隣接する標本点を見やすく結ぶ表示で、点間を追加評価した結果や零点・極値を厳密探索した結果ではありません。
• 直交多項式の『直交』は、決められた区間と重み関数を使った積分が異なる次数間で0になる性質です。曲線が見た目で直角に交差するという意味ではありません。本ページは標準的な多項式値を返し、長さ1へ揃えたorthonormal多項式へ自動変換しません。別資料と比較するときは族名だけでなく正規化、重み、区間、位相を確認してください。
• グラフの下に同じ計算結果の表を置き、全行をTSVとしてコピーできます。グラフが縦軸の大きな値に引かれて細部を見せない場合は区間を狭め、表の数値を正本として確認してください。高次数では漸化式の丸め誤差、係数の急増、隣接項の相殺が増えます。用途に必要な誤差を決め、代表点を任意精度や別実装と比較してください。
• schema v4のsampled-series-v1と共有の有界3項漸化式だけを使います。各点の最大反復は次数128で、途中結果が非有限になればそのセルを未定義として線を分断します。eval、new Function、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketは使わず、入力と生成系列は利用者の端末内だけで処理します。WordPressへの書込みや公開も行いません。
• 多項式は近似、スペクトル法、求積、物理モデルなどで使われますが、このページは展開係数、根、微分、積分、境界条件を自動計算しません。関数値グラフだけで近似の収束やモデルの妥当性を断定せず、採用した次数、パラメータ、区間、重み、正規化と入力尺度を一緒に記録してください。
• 入力値を変更したときは、曲線の形だけでなく表に表示される代表値も確認してください。次数を一つずつ増やす比較では、同じ区間、刻み、点数を保つと零点や対称性の変化を追いやすくなります。別の資料や数式処理ソフトと照合する場合は、多項式の名称だけでなく規格化、パラメータの順序、変数の範囲が一致しているかを確かめてください。
• 計算結果は指定した有限個の標本点です。線で結んだ表示は見やすさのための補助であり、標本点の間にある極値や零点を完全に捕捉したことを意味しません。変化が急な区間では範囲を狭めるか刻みを小さくし、点数上限を超えない範囲で再計算してください。
• 有限格子上の標準多項式値を返す学習・検算用グラフです。近似精度や物理モデルを保証しません。

よくある質問