第2種変形Bessel関数K_ν(x)を実数次数でグラフ・表計算

使い方

1. 実数次数νと正のx格子を入力します。既定はν=0.5、x=1〜3です。
2. K_(1/2)(x)=sqrt(π/(2x))e^(−x)を代表点で照合します。
3. 原点近くの急増と大きなxでの減衰を別々の狭い区間でも確認します。

計算式・考え方

第2種変形Bessel関数K_ν(x)はx²y''+xy'−(x²+ν²)y=0の減衰側標準解です。非整数νではK_ν(x)=π{I_(−ν)(x)−I_ν(x)}/(2sinπν)で、整数次数は極限として定義されます。K_(−ν)=K_νであり、原点の特異性を避けて0.0001≤x≤50を評価します。

注意事項

• NIST DLMF §10.25と§10.32、積分表示10.32.E9を2026年7月15日に照合しました。K_νはMacdonald関数とも呼ばれます。本ページのK_νは円柱型で、後述の球型kとは平方根係数が異なります。
• K_νは正のxで正、次数について偶関数です。ν=0ではx→0+で対数的に発散し、ν≠0では概ねx^(−|ν|)型の特異性を持ちます。そのためx=0を許可せず、下限0.0001で有限値だけを返します。
• 大きなxではK_ν(x)はsqrt(π/(2x))e^(−x)に比例して減衰します。値が極端に小さい場合、グラフ上で0に重なって見えても数学的にちょうど0とは限りません。表の指数表記と浮動小数点のunderflow限界を区別してください。
• I_νとの差から接続公式を直接計算すると、整数次数近傍で相殺しやすくなります。共有evaluatorは積分、級数、漸近式を範囲に応じて使い分けますが、桁落ちに敏感な比や対数が必要ならscaled Kやlog K専用実装を検討してください。
• このwaveでは、次数νを整数に丸めず−20から20までの実数として扱います。古典的な球ベッセル関数は非負整数nで紹介されることが多い一方、本ページ群の球関数は円柱ベッセル関数との関係式を定義として実数次数νへ拡張しています。したがって、整数次数だけを載せた数表と比較するときも、入力欄のνが階数nなのか円柱側のν+1/2なのかを確認してください。
• 横軸はx_i=xの初期値+i×増分（i=0,1,…,点数−1）で作ります。点数は1〜201、xは関数ごとの許可範囲内です。増分を負にすれば右から左へ並べられますが、初期点だけでなく最終点も範囲内でなければ計算しません。増分0は同じ点を重複させるだけなので入力エラーにします。
• グラフの線は指定した標本点を見やすく結んだものです。点間を追加評価した補間曲線、零点探索、極値探索ではありません。振動が速い区間やx=0近くの急変を調べる場合は表示範囲を狭め、増分を小さくしてください。見かけ上の交点をそのまま根とせず、表の符号と専用の高精度計算で再確認してください。
• 同じBesselという名称でも、第1種と第2種、通常型と変形型、円柱型と球型では微分方程式、原点での挙動、無限遠での増減が異なります。さらに資料によって球型の正規化やmodified spherical kの係数が違います。比較時は関数記号だけでなく、次数、引数、平方根係数、位相、正規化を式単位で照合してください。
• 計算はschema v4のsampled-series-v1と、固定名で許可した有界なBessel evaluatorを使います。任意の式やコードを実行するeval、new Function、外部API、CDN、fetch、XMLHttpRequest、WebSocketは使いません。反復回数、入力範囲、有限性を検査し、倍精度で安全に返せない標本は未定義セルとして線を分断します。
• 入力した次数、x格子、生成した系列は利用者のブラウザ内だけで計算・表示され、サーバーや第三者へ送信・保存されません。WordPressの本文、追加CSS、追加JavaScriptで完結できる構成を前提とし、このbuilderはローカル成果物だけを生成します。下書き作成、記事更新、本公開は実行しません。
• 結果の表とTSVはグラフと同じ内部数値を使います。表示は最大15桁の有効数字で、binary64の丸め、漸近展開や級数の打切り、近接する大きな項の相殺による誤差を含みます。極端に小さい値や大きい値では相対誤差と絶対誤差のどちらが用途に重要かを決め、NIST DLMFの表や任意精度ライブラリとも照合してください。
• NIST Digital Library of Mathematical Functions（DLMF）第10章の定義、接続公式、実数引数の積分表示、球関数との関係を2026年7月15日に一次資料として確認しました。ページごとの本文に参照節を記載しています。本ツールは公式定義の学習と代表値の検算を補助しますが、解析接続、複素引数、導関数、零点、証明、任意精度計算を提供するものではありません。
• Bessel関数は波動方程式、円筒・球対称の境界値問題、熱伝導、電磁気、拡散モデルなどに現れます。ただし、このグラフだけから物理量を決めることはできません。モデル側の境界条件、単位、無次元化、線形結合係数を確認し、採用した関数規約と入力値を結果と一緒に記録してください。
• 有界な倍精度による実数次数の標本グラフです。任意精度、複素数、零点探索、物理モデルの妥当性を保証しません。

よくある質問