OwenのT関数・V関数と恒等式を計算

OwenのT関数・V関数と恒等式を計算

標準化点hと直線y=axの係数aから、標準係数1/(2π)のOwen T関数、V関数、T+V、atan(a)/(2π)との残差を計算します。

入力

標準正規変量の無次元点です。TとVはhの符号を反転しても同じ値になります。

直線y=axの無次元傾きです。負値ではT・Vを符号付き積分として返します。

使い方

  1. 標準化点hを−12〜12、直線y=axの係数aを−100〜100で入力します。どちらも単位を持たない値です。
  2. 計算してTとVを確認します。a≥0ではTを独立標準正規(X,Y)の事象X>hかつ0<Y<aXの確率として読めます。
  3. T+Vとatan(a)/(2π)を比較し、恒等式残差が丸め誤差程度であることを確認します。
  4. 別資料と照合するときは、Tの係数、aの符号、上側・下側の確率領域、標準化方法をそろえます。

計算式・考え方

φ(x)=exp(−x²/2)/√(2π)として、標準Owen TはT(h,a)=1/(2π)∫[0,a]exp{−h²(1+t²)/2}/(1+t²)dtです。V(h,a)=∫[0,h]φ(x)∫[0,ax]φ(y)dydxで、T(h,a)+V(h,a)=atan(a)/(2π)を満たします。canonical掲載T式の1/√(2π)はこの標準係数・恒等式と矛盾するため1/(2π)へ修正します。

注意事項

  • 参照canonicalはTの積分前係数を1/√(2π)と掲載していますが、同じページのT+V=atan(a)/(2π)とは両立しません。h=0では積分本体がatan(a)なので、標準係数1/(2π)ならT(0,a)=atan(a)/(2π)、V(0,a)=0となり恒等式が直ちに成立します。
  • SciPy公式owens_tは、独立標準正規X,YについてX>hかつ0<Y<aXとなる確率としてTを定義しています。この確率解釈はa≥0で直接的です。a<0では積分の向きによりTとVが負になる符号付き拡張として扱います。
  • Tはhについて偶関数、aについて奇関数です。Vも同じ対称性を持ち、T+Vはatan(a)/(2π)です。hの符号だけを反転した結果、aの符号を反転した結果、a=0で全て0になる境界を実装検算に使えます。
  • Vを二重積分で独立に長時間計算せず、安定に求めたTとatan2(a,1)/(2π)の恒等式を利用できます。ページでは共有T・V関数を別々に呼び、和と残差も表示して両経路の不整合を見逃さない構成にします。
  • Owen Tは二変量正規確率や歪正規分布の計算に現れますが、hとaだけから一般の相関付き二変量正規確率がすべて自動で求まるわけではありません。目的の領域をTへ変換する公式と象限・符号を別途確認してください。
  • OwenのT関数とV関数の関数値・恒等式検算は、指定した数学的定義をbinary64で近似する学習・検算用ツールです。表示は最大有効数字15桁ですが、末尾まで正しい任意精度計算を意味しません。6〜50桁などの固定桁数を精度保証として装わず、重要な用途では同じ定義の独立実装と代表点を比較してください。
  • 入力上限は数学的定義域を置き換えるものではなく、ブラウザを長時間占有しないための運用境界です。上限付近、極端な裾、特異境界に近い入力では丸め誤差が増えます。有限値へ黙って丸めず、許容範囲外や収束不能は入力エラーまたは計算エラーとして示します。
  • 定義と境界はNIST Dataplot、NIST/SEMATECH Engineering Statistics Handbook、SciPy公式資料を2026年7月14日に照合しました。参照資料は式、パラメータ化、支持範囲、確率領域を確かめるために使い、計算中に外部サイトへ接続しません。
  • 結果は入力した分布・関数の値であり、標本がその分布へ適合すること、相関が因果関係を表すこと、検定や設計の前提が満たされることを保証しません。実データへ適用するときは母数推定、標本数、外れ値、独立性、測定単位、モデル選択を別途検証してください。
  • このページはcalculator-firstで、入力、計算、結果を先に置き、その下に式、使い方、境界、数値誤差、FAQを掲載します。生成時はWordPress本文・追加CSS・追加JavaScriptの3成果物へ分けられますが、ここではローカル成果物だけを作り、WordPressへの投稿、下書き、書き込み、公開は行いません。
  • 許可制の宣言的ASTと共有named functionだけを使い、eval、new Function、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketを使用しません。計算は利用者の端末内で完結し、入力値や結果をサーバー・第三者へ送信または保存しません。
  • 再現用に、結果の数値だけでなく入力値、角度や標準化の単位、確率領域の不等号、関数名、計算日を一緒に保存してください。同じ記号でも資料ごとに基準区間、上側・下側、相関の並び、係数の定義が異なる場合があります。名称だけで対応付けず、本文の数式と入力順を照合してから比較します。通常点に加えて対称性、独立、端点など既知の境界も検算すると、方向や係数の誤りを発見しやすくなります。
  • 指定した数学的分布・関数の近似値です。モデル適合、検定設計、個別判断を保証しません。

よくある質問

なぜ参照ページの係数を変更したのですか？

標準Owen Tの定義と、同じページにあるT+V=atan(a)/(2π)を両立させる係数が1/(2π)だからです。h=0で代入すると違いを直接確認できます。

aが負でも計算できますか？

できますが、事象確率ではなく符号付き積分として負値になります。T(h,−a)=−T(h,a)、V(h,−a)=−V(h,a)です。

表示された15桁をすべて保証できますか？

できません。binary64の近似値です。条件によって末尾数桁は異なり得るため、定義と入力をそろえた独立実装で照合してください。

この結果だけで統計モデルを採用できますか？

できません。関数値を返すページであり、母数推定、適合度、標本設計、仮説検定の妥当性は別の分析が必要です。

入力した値は外部へ送られますか？

送られません。入力、反復、表示、コピー用データの生成はこのブラウザ内だけで行います。

入力した角度、確率、集中度、標準化点、相関係数、係数と計算結果は端末内だけで処理され、外部へ送信・保存されません。氏名、観測データ、案件名などの個人情報・機密情報を入力する欄はありません。