ゲイン付きシグモイド関数の1次微分を計算

ゲインaと実数xからシグモイドの1次微分a×s×(1-s)を計算します。

使い方

0以上100以下のゲインaを確認し、宣言された範囲内の有限値として入力します。
-100以上100以下の実数xを必要に応じて入力し、別の実装と比較するときは同じ定義へそろえます。
ゲイン付きシグモイドの1次微分を確認し、境界値や独立計算の既知値と照合してから記録します。

計算式・考え方

s=1/(1+exp(-a×x))としてs'=a×s×(1-s)です。

注意事項

シグモイド関数の1次微分は、ゲインaを持つロジスティックシグモイドの1次微分を一点で評価します。このページは一つの実数を一つの実数へ写すスカラー計算に限定し、配列、テンソル、バッチ軸、ブロードキャストは扱いません。機械学習ライブラリの層そのものではなく、指定した一点で関数値を確認するための計算ページです。
数式の組み立ては、z=a×xを作り、zの符号で指数式を分けてから導関数の積へ代入します。結果を別の近似曲線へ置き換えず、表示前の計算は既存のdeclarative-v1式ASTだけで実行します。式の途中で表示用の丸めを行わず、最後に最大十五桁の有効数字で整形します。
入力範囲は、ゲインaを0以上100以下、xを-100以上100以下に限定します。空欄、数値でない文字列、NaN、正負の無限大、宣言した上下限の外側は計算前に拒否します。入力範囲は数学上の定義域より狭い場合があり、ブラウザとPythonの倍精度で再現可能な契約として設定しています。
値域と形の読み方は、aが非負なら出力も非負で、x=0における値はa/4です。関数値が大きい、小さい、またはゼロに近いことは、学習が成功することや予測が正しいことを直接保証しません。モデル全体の重み、損失、データ分布、最適化条件とは分けて解釈してください。
数値安定性については、z≥0ではexp(-z)、z<0ではexp(z)だけを評価し、正の巨大な指数によるオーバーフローを避けます。指数関数を使う式では、大きな正数をそのままexpへ渡さない形を優先します。それでも倍精度で表現できないほど小さい尾部は0へ、大きい飽和域は上限値へ丸められる場合があります。
境界条件は、x=0ならa/4となり、a=2では0.5です。ゼロは関数の対称性、接続点、最大勾配などを確認しやすい重要な試験点です。境界の値を空欄の代用品にはせず、意図してゼロを評価するときだけ入力してください。
微分値または関数値の実務的な解釈は、局所勾配は原点付近で最大になり、両端の飽和域で0へ近づきます。導関数は局所的な傾きであり、有限区間の変化量やパラメータ更新量そのものではありません。数値微分との比較では刻み幅と丸め誤差を同時に管理する必要があります。
フレームワークとの照合では、PyTorch公式sigmoidの標準式へ入力倍率aを掛けるパラメータ化です。ライブラリ側はテンソル型、低精度型、量子化、GPUカーネル、しきい値による近似を持つことがあります。このページは実数の倍精度スカラー式なので、同じ入力でも低精度推論結果と末尾桁が異なる場合があります。
定義と恒等式の確認には、PyTorch公式Sigmoid仕様とNIST DLMFの指数関数の定義・微分を参照しました。資料名は式の意味を確認するために示しており、特定ライブラリやモデルを推奨するものではありません。一次資料の演算定義と、このページの入力範囲、分岐点、表示精度を分けて確認しました。
検算するときは、通常点、ゼロの境界、許容範囲外の三種類を分けます。通常点では独立に計算した既知値、境界では厳密値、異常入力では対象欄だけにエラーが出ることを確認します。正負を反転したときの対称性や導関数の符号も補助的な確認になります。
このページのリスク区分はR1で、公開前に人手確認を必須とします。理由は、数式自体は静的でも、活性化関数の名称や導関数を学習設計の推奨値と誤読しやすいためです。医療、安全制御、採用、与信など重大な判断へ単独で使わないでください。
利用範囲は、ゲイン付きシグモイドの1次微分だけを扱い、バイアス項、ベクトル、損失関数は含みません。逆関数、積分、ベクトル化、グラフ生成、自動微分グラフ、勾配降下、重み更新、損失計算は含みません。必要な値が別の定義やパラメータ化に基づく場合は、その仕様へ合わせた別ページとして扱ってください。
比較では関数名だけでなく、入力の倍率、パラメータ、境界で採用する枝、データ型を一致させます。特にシグモイドのゲインやLeaky ReLUの負側傾きは結果を変えるため、既定値が同じかを先に確認します。導関数ページでは元関数の定義も同時に記録してください。
再現性を保つため、結果は外部APIへ問い合わせず、端末内で同じ式から決定的に計算します。時刻、地域、通信状態、乱数に依存しません。計算例を報告書へ転記するときは、入力値、関数名、パラメータ、表示桁数を一緒に残すと再検算しやすくなります。
学習用の確認では、手計算できる0と1付近から始め、次に正負の入力を比較します。a=2でx=0と±1を比べると1次微分の対称性と飽和を確認できます。単一の出力値だけを見てモデル設計を決めず、勾配分布、飽和割合、データの正規化、目的関数との組合せを別に評価してください。
倍精度のスカラー計算による学習・検算用の値です。モデル品質、安全性、適合性、学習収束を保証せず、重大な判断には単独で使用できません。

よくある質問

シグモイド関数の1次微分の結果は機械学習ライブラリと必ず一致しますか？

実数の倍精度で同じ式とパラメータを使えば近い値になりますが、標準sigmoidはa=1で、ゲイン入力を持たない実装もあります。低精度型、量子化、融合カーネル、表示丸めが違えば末尾桁は一致しません。

なぜ入力値に上下限がありますか？

数学上はより広い実数域で定義できる関数もありますが、このページは倍精度で安定して比較できる範囲を契約として示しています。範囲外を黙って飽和値へ置き換えず、入力段階で明示的に拒否するためです。

結果が0または1に見えるのは計算ミスですか？

必ずしも計算ミスではありません。飽和域ではs(1-s)が非常に小さくなります。ただし入力範囲、ゲイン、傾き、表示桁を確認し、期待した関数定義を選んでいるか照合してください。

導関数を学習率として使えますか？

導関数は指定点での局所的な傾きで、学習率そのものではありません。実際の更新量には損失から伝播する勾配、重み、正則化、最適化手法、バッチ集約などが関係します。

グラフや複数値をまとめて計算できますか？

この定義は一回につき一つの実数を評価するスカラー専用です。配列、グラフ、テンソル、自動微分は対象外で、必要な場合は対応する実行環境で別途検証してください。

入力した実数、ゲイン、負側傾きはこの端末内だけで計算され、外部へ送信・保存されません。モデルの重み、学習データ、個人情報を入力する欄はありません。