ポアソン分布のPMF・累積確率を最大201点でグラフ・表計算

使い方

1. 平均λ、表示関数、xの初期値・整数増分・点数を入力します。既定はλ=5、x=0〜10です。
2. PMFなら山の位置、Pなら0から1への増加、Qなら1から0への減少を確認します。
3. 表でx=5のf≈0.175467、P≈0.615961、Q≈0.559507を検算し、必要ならTSVをコピーします。

計算式・考え方

X~Poisson(λ)についてf(x)=e^(−λ)λ^x/x!、P(X≤x)=Σ[t=0..x]f(t)、Q(x)=P(X≥x)=Σ[t=x..∞]f(t)です。xは0以上の整数、λ≥0です。λ=0ではx=0に確率1が集中し、f(0)=P(0)=Q(0)=1です。

注意事項

• NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical MethodsのPoisson DistributionとSciPy公式scipy.stats.poissonを2026年7月13日に確認しました。SciPyのsf(x)はP(X>x)なので、本ページのinclusive Q(x)との比較にはsf(x−1)を使います。
• Poisson分布は一定区間内のイベント回数を表す代表的なモデルで、平均と分散がともにλです。ただし事象が独立に同じ率で発生するという仮定が必要です。時間帯で率が変わる、事象が群発する、上限回数がある場合は別モデルを検討します。λは観測値そのものではなくモデルの平均パラメータです。
• canonicalは非整数xにもGamma補間値を返しますが、回数分布の確率質量は整数点で定義されます。本ページはx初期値と増分を整数に修正し、点だけを描きます。λ=0,x=0の上側確率は数学的に1であり、0とする表示には合わせません。支持域は無限ですが実用上の端末負荷を抑えるためx≤10,000です。
• λが大きいと山はλ付近へ移り、標準偏差√λの幅で広がります。x=λが整数なら隣接する二点が同じ最大値になる場合があります。小さいPMFをグラフだけで0と見なさず表で確認してください。二項分布のPoisson近似はnが大きくpが小さい等の条件付きで、常に置換できるわけではありません。
• サンプル番号i=0,1,…,点数−1に対してx_i=x初期値+i×増分を作ります。xは回数を表すため初期値と増分を整数に限定し、増分0は拒否します。負の増分なら大きいxから小さいxへ並べられます。点数は1〜201、xと分布パラメータは原則10,000以下へ有界化し、201回の端末内評価が過大にならないようにしています。
• 離散分布は整数点だけに確率があるため、結果は線で結ばずpoints表示にします。点と点の間に確率密度が続くわけではありません。グラフが小さく見える場合も表の確率値が正本です。代替表には全点を載せ、列見出しを保ったTSVとしてコピーできます。累積関数は単調性も表で確認してください。
• このページのQはxを含むP(X≥x)です。したがってP(X≤x)+P(X≥x)=1+P(X=x)、記号ではP(x)+Q(x)=1+f(x)、Q(x)=1−P(x−1)、P(x)+Q(x+1)=1です。連続分布のように同じxでP+Q=1とはなりません。一般的な統計ライブラリのsurvival functionはP(X>x)なので、変数が同じ規約ならinclusive Q(x)との比較はsf(x−1)です。幾何分布のように確率変数自体を1始まりへ写す場合は、そのページ固有の対応を優先してください。
• schema v4のsampled-series-v1と定義所有の許可制ASTを使い、選択したf/P/Qの枝だけを評価します。eval、new Function、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketは使いません。入力と系列は利用者の端末内だけで処理し、サーバーへ送信・保存しません。WordPressへの書込み、下書き作成、公開も行いません。
• 確率分布の式が正しくても、現実のデータが独立か、同じ確率を持つか、復元抽出か、観測期間が一定かというモデル条件は自動判定できません。グラフの見た目だけで適合性や将来結果を断定せず、確率変数の0始まり/1始まり、パラメータ、支持域、丸め方を計算結果と一緒に記録してください。
• 確率モデルの計算・学習用です。現実の独立性やモデル適合性を保証しません。

よくある質問