正の実数のベータ関数 B(a,b) を計算

使い方

1. 0より大きい二つの実数aとbを入力し、有限値の宣言範囲と定義域を満たすことを確認します。
2. 完全ベータ関数であり不完全ベータ関数ではないことを確認してから「計算する」を押し、ベータ関数B(a,b)の値を表示します。
3. 引数交換の対称性と既知の積分値と照らし、符号、桁、極や飽和への近さを読み取ります。
4. 再利用するときは入力値、表示桁、確認日、実数枝という条件も一緒に保存します。

計算式・考え方

B(a,b)=∫0^1 t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt=Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b)です。実装はB(a,b)=exp[ln Γ(a)+ln Γ(b)-ln Γ(a+b)]として、巨大な中間積を作りません。

注意事項

• ベータ関数B(a,b)は、二つの正の形状引数を結び付ける積分で、ガンマ関数の比としても表せる対称な特殊関数です。このページは一つまたは二つの実数入力から一つの実数値を返すスカラー計算に限定しています。グラフ、複素数、数列の一括生成は扱わず、入力した一点の値と定義域を落ち着いて確認するためのページです。
• 採用した数式は、二重積分の変数変換からB(a,b)=Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b)を得て、三つのログガンマの和と差へ変形します。表示直前だけで丸め、内部ではJavaScriptとPythonが共通に扱えるIEEE 754倍精度の有限値を保ちます。式を表計算へ転記するときも、括弧、指数、定数の位置を変えないでください。
• 入力範囲は、aとbをそれぞれ0より大きく100以下にし、積分端点で発散して定義できない非正値を拒否します。数学的な定義域そのものより狭い場合は、関数を別物へ縮約したのではなく、有限な倍精度結果をブラウザで再現できる契約として上限と下限を設けています。空欄、文字、NaN、無限大、範囲外の数は計算前に拒否します。
• 数値安定性については、Γ(a)Γ(b)を直接掛けず、ln Γ(a)+ln Γ(b)-ln Γ(a+b)の最後に一度だけexpを適用します。単純な教科書式をそのまま評価すると、近い大きな数の差、指数オーバーフロー、ゼロ除算が起こる場所があります。この実装は条件分岐を遅延評価し、選ばれなかった危険な枝を実行しません。
• 境界の読み方は、B(1,1)=1、B(1/2,1/2)=πで、aまたはbが0へ正側から近づくと発散します。境界値を自動的にゼロへ置き換えたり、発散点へ便宜的な有限値を付けたりしません。定義できる特別値だけを明示的に返し、極や許容範囲外は入力エラーとして理由を示します。
• 結果は、常に正でB(a,b)=B(b,a)が成り立ち、ベータ分布の正規化定数などに現れます。最後の数桁は処理系、入力の十進表現、近似式の丸めによって変わり得ます。手計算、別ライブラリ、論文の表と比べるときは、有効桁だけでなく定義、引数の並び、正規化、実数枝もそろえてください。
• 検算では、B(2,3)=1/12、B(1/2,1/2)=π、引数交換B(a,b)=B(b,a)を確認します。通常点、ゼロまたは既知の特別値、定義域外の三種類を分けて試験しています。対称性や漸化式がある関数では、一点の一致だけでなく、符号を反転した値や隣接する引数との関係も独立に確かめます。
• 参照資料は、NIST DLMF 5.12のEulerベータ積分とガンマ関数による表現、5.5の漸化式を参照しました。2026年7月13日に定義、実数領域、特異点、近似式の係数を照合しました。NIST DLMFは数式の節番号、Boost.MathはLanczos近似の実装上の意味を確認するために使い、特定ライブラリの出力を固定値として埋め込んではいません。
• このページで扱わない範囲は、a≤0またはb≤0の解析接続、複素引数、不完全ベータ関数、正則化不完全ベータ関数です。目的外の入力を無理に通すと、見かけ上は数値でも別の枝や別の規約を表すことがあります。必要な領域が範囲外なら、複素特殊関数や任意精度演算に対応した検証済みライブラリを選んでください。
• 実務への持ち込み方は、ベータ分布へ使うときはB(a,b)そのものと1/B(a,b)を取り違えず、密度式の分母か分子かも確認します。この計算値は学習、式の確認、テストデータ作成を助けるものです。観測モデル、材料モデル、統計分布、最適化手順の妥当性は別問題なので、前提、単位、測定誤差、採用したモデル名を計算結果と一緒に記録してください。
• 有限な実数とIEEE 754倍精度による学習・検算用の近似値です。複素枝、任意精度、物理モデル全体の妥当性は扱いません。

よくある質問