実数序数のフィボナッチ関数Fνを最大201点でグラフ・表計算

使い方

1. 序数νの初期値、増分、点数を入力します。既定値は−10から10まで0.2刻みの101点です。
2. 計算後は整数の行でF0=0、F1=1、F10=55を確認し、その間の非整数値が滑らかに変化する様子を見ます。
3. 別実装と比較するときは整数列なのか、このページと同じcos補間の実数関数なのかを先に揃え、必要ならTSVをコピーします。

計算式・考え方

φ=(1+√5)/2として、Fν={φ^ν−φ^(−ν)cos(πν)}/√5を計算します。νが整数ならcos(πν)=(−1)^νとなり、DLMF §26.11.7のBinet公式と一致します。非整数では負の底の実数べきが一般に実数へ定まらないため、掲載式はcos因子を使って実数値を選ぶ補間です。

注意事項

• NIST Digital Library of Mathematical Functions（DLMF）§26.11の漸化式と式26.11.7を2026年7月13日に確認しました。DLMFの明示式は非負整数nのフィボナッチ数を定めます。このページはその整数値を保ちながら、参照ページが掲載するcos(πν)付きの式を実数νへ適用します。
• 実数補間は整数列だけから一意には決まりません。全ての整数で同じ値を取っても、整数間で異なる関数を作れます。そのため、結果を単に「唯一のフィボナッチ関数」と呼ばず、採用式を表題直下と数式説明に明記しています。CASやライブラリが別の解析接続を採用すれば、非整数の値は一致しない場合があります。
• ν<0の整数ではF_(−n)=(−1)^(n+1)F_nが現れ、既定範囲の端はF_(−10)=−55です。ν=−0.5では約0.35158、ν=0.5では約0.56886で、整数列を直線補間した値ではありません。グラフの振動はcos項に由来し、丸め誤差や描画不具合ではありません。
• 計算ではφ^νとφ^(−ν)をexp(ν lnφ)の形で評価します。底は正なので実数νでも定義でき、負の底を直接べき乗しません。|ν|≤100へ制限したため倍精度で有限ですが、符号の異なる近い項を引く場所では相対誤差が増えることがあります。小さな値の高精度判定には任意精度実装を使ってください。
• 整数のフィボナッチ数を厳密な大整数で得たい場合は、整数専用の漸化式やfast doublingが適します。このページは実数格子の形を一度に見ることが目的で、大きな整数F_nを桁落ちなく返す用途ではありません。指数が大きい範囲を外挿したり、観測データへ意味付けしたりせず、採用したνの範囲と刻みを結果と一緒に記録してください。
• サンプル番号i=0,1,…,点数−1に対し、x_i=初期値+i×増分を端末内で生成します。点数には両端を含み、負の増分なら降順です。増分0は同じxの重複になるため拒否し、点数は処理量と表の長さを抑えるため1〜201に限定します。最終点が許可範囲から外れる組合せも入力欄の近くで知らせます。
• 折れ線は隣接する標本点を結んだ表示であり、点間を追加評価した連続曲線そのものではありません。極、零点、急変部を調べるときは刻みを小さくし、重要なxが格子点に入るよう初期値を調整してください。未定義点は有限値へ置き換えず表で未定義とし、線を分断するため、極をまたぐ線が描かれることを避けます。
• グラフの下には同じ計算結果の表を置き、全行をTSVとしてコピーできます。図の高さや線色だけで値を判断せず、列見出しと表の数値を正本として確認してください。非常に大きい値と小さい値が同居すると小さい変化が見えにくくなるため、区間を分けた再計算が有効です。表示桁は読みやすく丸めますが、内部計算はJavaScriptの倍精度です。
• schema v4のsampled-series-v1と許可制ASTだけで各点を評価します。eval、new Function、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketを使わず、入力値も生成系列もサーバーや第三者へ送信・保存しません。数式の確認と学習、実装の代表点比較を目的とし、任意精度計算や複素数計算を代替するものではありません。
• 有限個の実数標本による学習・検算用グラフです。複素数、任意精度、理論証明を扱いません。

よくある質問