複素球ベッセル関数jν(z)・yν(z)と導関数の計算

使い方

1. 実数次数νと複素引数zの実部・虚部を入力します。νは円柱側の次数ν+1/2とは別です。
2. 計算結果のjν、j′ν、yν、y′νを4行のRe・Im・絶対値・偏角で確認します。
3. 整数次数の数表と比べるときも、このページが実数νへ関係式で拡張している点を記録します。
4. 原点近くでは第2種が急増し得るため、指数表記と入力下限を確認します。

計算式・考え方

jν(z)=sqrt(π/(2z))J_(ν+1/2)(z)、yν(z)=sqrt(π/(2z))Y_(ν+1/2)(z)を実数次数への定義とし、球Bessel方程式とz導関数をprincipal branchで評価します。

注意事項

• 球Bessel方程式はz²w''+2zw'+{z²−ν(ν+1)}w=0です。円柱Bessel方程式と比べると一次導関数の係数が2zで、次数項もν(ν+1)です。Jνの式へ平方根だけを掛けたものと曖昧に覚えず、半次数shiftまで含めて比較します。
• DLMFの球Bessel関数は主に非負整数nで記載されます。このページはjν=sqrt(π/(2z))J_(ν+1/2)、yν=sqrt(π/(2z))Y_(ν+1/2)を定義として−20から20の実数次数へ拡張します。整数へ丸めて計算しません。
• 複素平方根sqrt(1/z)と円柱J/Yのbranchを同じprincipal規約で結びます。負の実軸で平方根だけ別側を選ぶと位相がずれるため、exact cutはarg(z)=+πの上側、下側は負の虚部を持つ別入力として扱います。
• 導関数はj′ν=j_(ν−1)−(ν+1)jν/z=−j_(ν+1)+νjν/z、y′νも同形です。次数shift後の円柱関数を単純に微分する場合はsqrt(1/z)の微分も含むため、係数ν+1を落とさないようにします。
• 非負整数nではj0(0)=1など有限極限がありますが、yνは原点で一般に特異です。2種類を同じ表で返すこのページではz=0を除外し、次数別の例外を暗黙に0へ置換しません。下限1e-4近くでは値の桁差に注意します。
• Wronskian jνy′ν−j′νyν=1/z²を使うと、平方根係数、次数shift、導関数係数の取り違えを検出できます。ν=2の正負実引数では整数parityも確認し、負の実軸の一般branch検証とは分けます。
• 検索では『球ベッセル関数 計算』『spherical Bessel j y』『球ベッセル関数 導関数』『球ベッセル 複素数』を想定します。円柱BesselのJ/Yや、球面調和関数、Legendre関数と同じものとして案内しません。
• 散乱、量子力学、球対称波動、伝熱などでは球Bessel関数が現れますが、この1点計算は境界値問題を解きません。物理式へ代入するときは次数が整数nか実数νか、引数が無次元化されているかを確認してください。
• 共通安全域は有限実数次数−20≤ν≤20、有限複素引数1e−4≤|z|≤50です。実部と虚部が個別に±50以内でも、40+40iのように絶対値が50を超える点は計算しません。第2種を同時に返すためz=0も全ページ共通で除外します。
• 負の実軸ちょうどはarg(z)=+πの上側principal valueとして固定します。下側境界値はIm(z)<0の別入力です。入力欄で−0を保持できることに依存せず、上下を比較するときは0でない小さな虚部と採用側を記録してください。
• 結果表はquantity、実部、虚部、絶対値、主偏角radの5列です。複素値を整形文字列だけへ変換せずReとImを数値として保持し、同じ内部値からhypotとatan2を求めます。厳密な0の偏角は未定義としてダッシュ表示します。
• 表示はIEEE 754 binary64を基礎とする最大15有効桁です。最大15桁を表示できることは15桁すべての正しさを保証しません。整数次数直近、零点近傍、巨大成分の相殺、overflow・underflow近傍では有効桁が減ります。
• 数値coreは正実軸の監査済み実数値をanchorにし、複素平面では微分方程式を有界なDormand–Prince 5(4)で解析接続します。最大8192 stepで目標へ達しない点、非有限入力、非有限結果は推測値を出さず入力エラーにします。
• これはNetlib AMOSの移植でも、全複素平面を保証する任意精度libraryでもありません。AMOSの有限性、branch、overflow、作業上限の考え方を照合した、指定安全域のunscaled scalar実装です。広い領域やscale値が必要なら別手段を使います。
• 入力は利用者のブラウザ内だけで評価され、サーバーや第三者へ送信・保存されません。外部API、CDN、fetch、XMLHttpRequest、WebSocket、位置情報、現在時刻、localStorageを必要とせず、1回の操作で1点だけを計算します。
• 一次資料は2026年7月15日にNIST DLMF第10章とNetlib AMOSを照合しました。確認URL: https://dlmf.nist.gov/10.2 , https://dlmf.nist.gov/10.6 , https://dlmf.nist.gov/10.11 , https://dlmf.nist.gov/10.25 , https://dlmf.nist.gov/10.29 , https://dlmf.nist.gov/10.47 , https://dlmf.nist.gov/10.51 , https://netlib.org/amos/
• 同じBesselという名前でも通常型、Hankel、球型、変形型では微分方程式、次数shift、平方根係数、branch、正規化が違います。外部libraryや論文と比較するときは関数記号だけでなく、ν、z、定義式、scale、偏角規約を揃えます。
• 計算結果は公式定義の学習と代表値の検算を補助します。研究、設計、規格適合の最終値として使う場合は、独立した高精度実装、残差、Wronskian、隣接次数式を組み合わせ、入力と出典の版を再現できる形で保存してください。
• 表をコピーするときはquantity列を削らず、関数値と導関数、第一種と第二種を区別したまま保存します。絶対値だけでは位相を復元できず、偏角だけでは大きさを復元できません。ReとImを正本として残し、丸め後の表示値から高精度な元値を再構成できるとは考えないでください。
• 同じ入力を別の計算環境で比較する場合は、実数次数か整数次数か、負実軸の上側か下側か、引数の単位と無次元化、導関数がzによるものかを先に揃えます。数値が一定係数や複素共役だけずれる場合は、誤差と決める前に正規化とbranch規約を式で確認してください。
• 指定した有界領域のbinary64主値です。任意精度、全複素平面、scaled値、零点保証、物理的な境界条件の判定は行いません。

よくある質問