第2種Whittaker関数Wκ,μ(z)を非負実数域でグラフ計算

使い方

1. κ、μ、zの初期値、0以外の増分、2〜201の点数を入力します。既定値はκ=2、μ=0.5、z=0から0.2刻みの76点です。
2. 計算ボタンを押すと同じz格子のWκ,μ(z)をグラフ、数値表、TSVへ表示します。エラー時はκ・μと格子全体の安全域を確認します。
3. 零点や急変区間は線だけで決めず、数値表を確認して範囲と刻みを狭めます。別資料との比較では関数種Wとbranch規約も記録します。

計算式・考え方

Wκ,μ(z)=exp(−z/2)z^(μ+1/2)U(μ−κ+1/2,1+2μ,z)を非負実数zで評価し、Wκ,μ=Wκ,−μの対称性から安全な経路を選びます。

注意事項

• このグラフは実数κ・μと非負実数zに限定した第2種Whittaker関数Wκ,μ(z)の標本系列です。複素値を実部だけへ縮約するページではなく、数値核が実数値になる監査済み経路だけを一系列として描きます。
• κとμは−3以上3以下、zは0以上30以下、点数は2から201です。開始値、0以外の増分、点数から最終点を計算し、開始点と最終点の双方が範囲内になることを確認します。負の増分で逆順表示もできます。
• すべてのκ・μがz=0で有限になるわけではありません。格子が0を含む場合は終端多項式と原点指数の条件を満たす必要があり、積分経路だけで評価できるパラメータは最小zを0.25以上にします。
• 既定値κ=2、μ=0.5ではa=−1となり、W2,1/2(z)=exp(−z/2)z(z−2)へ簡約できます。z=0とz=2で0になり、z=5では約1.231274979358482、z=15では約0.1078514521788276です。
• グラフの線は最大201点を直線で結んだ標本線です。点間で関数を追加評価する補間、零点探索、極値探索、誤差帯ではありません。零点の位置が必要なら範囲を狭めて刻みを小さくし、専用求根法で再確認してください。
• 縦軸の一部に大きな値があると、小さい振動や零点近傍が平らに見える場合があります。これは値が0へ丸められたことを意味しません。数値表とTSVを確認し、必要なら区間を分割して尺度を変えます。
• Wκ,μはμの符号に対称ですが、κの符号には同じ対称性がありません。μだけを反転した比較とκを反転した比較を混同せず、パラメータとz格子を結果と一緒に保存してください。
• 非負実軸だけを描くため、負実軸のbranch cutや複素sectorはこのグラフから判断できません。複素入力が必要な場合は一行五列の複素W計算ページを使い、枝規約と虚部を明示します。
• 結果はunscaled binary64値です。指数的に小さい区間、巨大値、零交差近傍では相対誤差の読み方が異なります。科学計算の最終値、長い区間、15桁を超える精度には任意精度実装を併用してください。
• 計算は許可制関数whittaker_w_real_nonnegativeとsampled-series-v1だけで行います。eval、new Function、外部API、外部CDN、ネットワーク通信を使わず、入力した式やコードを実行しません。
• Whittaker Wκ,μ(z)はμの符号についてWκ,μ=Wκ,−μです。本coreはこの対称性を値の平均化ではなく、Kummer Uの終端または監査済み積分へ安全に写像できる側を選ぶために使います。
• 公開域は|κ|≤3、|μ|≤3、|z|≤30で、さらに|Im(κ)|と|Im(μ)|を1.5以下にします。選んだμからa=μ−κ+1/2、b=1+2μを作り、a=−nの終端条件またはKummer Uの積分条件を満たす場合だけ値を返します。
• exact負実軸はprincipal branchの切断上なので拒否します。終端Uが多項式でもz^(μ+1/2)の枝が残り得るため、Kummer Uの終端経路だけを理由にWhittaker Wのcutを解除しません。
• z=0は、選んだμ側でa=−nが厳密に成立し、μ+1/2が虚部0かつ実部0以上のときだけ受けます。指数が正なら0、指数0なら有限多項式値を返し、非終端・負指数・純虚数指数を共通の0へしません。
• 既定値κ=2、μ=3、z=0.5では約932.6559315948725です。大きな値は必ずしもoverflowや不良ではなく、原点に近いべき因子とUの組合せによることがあります。指数表記と入力条件を確認します。
• 大きい正実zではWが減衰する例が多い一方、複素sectorやパラメータで挙動は変わります。『第2種は常に小さい』という実軸上の印象を任意の複素入力へ広げず、scaled関数が必要なら別実装を使います。
• このページ群は合流型超幾何微分方程式の標準解を、一般の複素入力を式文字列へせず、実部と虚部の六つの有限数値として受け取ります。a+biのようなJavaScript式、極形式、変数、任意コードは実行しません。各欄へ実数を入れ、純実数でも虚部欄へ0を明示してください。
• 公開範囲は数学的な最大定義域ではなく、IEEE 754 binary64と有界反復で精度を高精度oracleへ照合できた部分です。成分が個別の上下限内でも複素絶対値が上限を超える点は拒否します。範囲外を端点へ丸めたり、虚部を捨てたり、整数へ近似したりしません。
• 結果表は関数名、実部Re、虚部Im、絶対値、主偏角radの一行五列です。複素数の再利用ではReとImを正本として保存してください。絶対値と偏角だけでは小さい成分や象限境界の情報を失い、値が厳密0のとき偏角は定義できないため未定義と表示します。
• 主偏角はatan2に相当する−πからπの代表値です。branch cutの片側極限を比べる場合、偏角の表示が約2π跳ぶことがありますが、これは必ずしも関数値の不連続や実装不良を意味しません。採用した入力の虚部符号とbranch規約を一緒に記録してください。
• 合流型超幾何関数には、パラメータが負整数になって級数が有限多項式で止まる場合があります。終端条件を小数の近似一致で判定せず、実部が厳密な対象整数で虚部が厳密0のときだけ多項式経路へ進みます。−1に非常に近い値を−1へ丸めることはありません。
• Gamma関数やPochhammer記号を含む式では、非正整数の極、極の近傍、巨大項の相殺が問題になります。本実装は極からの距離、安全な反復上限、有限性、丸め誤差推定を検査し、未収束や非有限の途中値を成功した0または∞として表示しません。
• Kummer Mの数値核は直接級数とKummer変換M(a,b,z)=exp(z)M(b−a,b,−z)を候補にし、Neumaier補償和で項を加えます。両経路が使える場合は項の絶対値合計と最終値から推定した丸め誤差の小さい候補を選びますが、表示桁が厳密値になる保証ではありません。
• Kummer Uの非終端経路は右半平面側の積分表示を有限区間へ写像し、16点Gauss–Legendre則を適応分割します。振動が強い左半平面、未監査の解析接続、任意の複素無限積分へ自動的に広げません。収束深さや区間数の上限に達した場合はエラーで閉じます。
• Whittaker関数はKummer関数へ指数因子とzの複素べきを掛けた標準解です。したがって同じ文字MでもKummer M(a,b,z)とWhittaker Mκ,μ(z)は別の関数です。検索結果や数表を比較するときは関数名だけでなくパラメータの対応式まで確認してください。
• zの複素べきはprincipal logarithmを基準にします。負実軸そのものを受けるか拒否するかは関数ごとに異なり、絶対値|z|へ置換して実数化する方法は元の解析関数と同値ではありません。上側・下側の指定が必要な用途では0でない小さな虚部を明示します。
• 共役対称性が使える実パラメータの例では、zと共役zの結果も共役になります。しかしパラメータ自体が複素数なら、zだけを共役にしても一般には同じ関係になりません。入力全体をどのように共役したかを揃えて検算してください。
• 表示は最大15有効桁のunscaled値で、任意精度、誤差区間、指数因子を除いたscaled関数ではありません。零点近傍では小さい関数値の相対誤差と偏角が敏感になり、大きい値では末尾桁が失われます。研究や設計の最終値には任意精度実装を併用してください。
• 正常例だけでなく、絶対値境界、終端多項式、極の直近、原点、負実軸cut、非終端積分域の端を分けて検査します。一つの恒等式が合うことを全領域の保証とはせず、90桁の独立値、PythonとJavaScriptの同値、有限性、エラー対象欄を組み合わせます。
• 本ツールは指定した一点の関数値を返します。零点探索、逆関数、微分、積分、固有値、物理境界条件、正規化係数の自動選択は行いません。微分方程式や量子力学へ使う場合は、無次元化、時間因子、採用解、単位をモデル側で確認してください。
• 入力値と結果は利用者のブラウザ内だけで処理されます。外部API、外部CDN、fetch、XMLHttpRequest、WebSocket、位置情報、Cookie、localStorageを使わず、複素パラメータや結果をサーバーへ送信または保存しません。共有端末では必要に応じてタブを閉じてください。
• 定義とパラメータの特異性はNIST DLMF §13.2（NIST DLMF §13.2）、Kummer Uの積分表示は§13.4（NIST DLMF §13.4）、Whittaker関数の定義と対称性は§13.14（NIST DLMF §13.14）、Gamma関数の関係式は§5.5（NIST DLMF §5.5）を2026年7月16日に照合しました。
• 監査済みの−3≤κ,μ≤3、0≤z≤30、最大201点のbinary64実数標本です。複素z、負実軸、任意精度、零点保証は扱いません。

よくある質問