カイ二乗分布の確率密度・下側P・上側Q

使い方

1. 評価したい非負のxと、0より大きい実数自由度νを入力します。
2. 一点の高さは確率密度、左側面積はP、右側面積はQとして結果を区別します。
3. 検定の臨界値と比べる場合は、片側・両側と自由度の定義を分析手順に合わせます。

計算式・考え方

χ²_νはshape=ν/2、scale=2のGamma分布です。f=x^(ν/2−1)e^(−x/2)/(2^(ν/2)Γ(ν/2))、P=P(ν/2,x/2)、Q=Q(ν/2,x/2)を直接評価します。

注意事項

• 自由度は整数へ丸めません。参照ページはν>0の実数を受け付け、利用例にも小数自由度の需要があります。ただし実際の検定で自由度がどの式から得られるかは手法ごとに異なるため、本ページは入力値を推定しません。
• x=0ではν=2の密度は1/2、ν>2では0です。0<ν<2では密度が+∞になるため、累積確率自体は定義できても有限scalarの密度と同時表示できません。この組合せは明示的に入力エラーとし、0を代用しません。
• NIST Engineering Statistics HandbookのChi-Square Distribution節で、χ²分布が標準Gamma分布から得られること、自由度ごとの密度・CDF・percent pointが数値計算されることを照合しました。
• 上側Qは右裾の面積です。Pが表示上1に見える大きなxでもQが小さな正数として残る場合があります。Qを有意水準として読むときは、検定統計量の向きと片側・両側の設計を取り違えないでください。
• NIST Digital Library of Mathematical Functions（DLMF）8.2節で、正規化不完全ガンマ関数P(a,x)とQ(a,x)、およびP+Q=1を確認しました。8.17節では正規化不完全ベータ関数I_x(a,b)と対称関係I_x(a,b)=1−I_(1−x)(b,a)を確認しています。
• 上側確率Qは、下側確率を計算して1から引く方法に固定していません。χ²・Gammaはregularized_gamma_qを直接呼び、Betaは対称関係の小さい側I_(1−x)(b,a)を直接評価します。Pが倍精度で1へ丸まる極端な右裾でも、表現可能なQを不必要に0へ失わないためです。
• 確率分布の数値は、入力した分布と母数が正しいという条件付きの数学的結果です。データがその分布に適合するか、母数推定にどの程度の誤差があるか、検定で帰無仮説を棄却すべきかを自動判断しません。研究・品質管理・監査では分析計画と使用ソフトの定義を別途確認してください。
• 確率密度f(x)は一点の確率ではありません。連続分布で区間[a,b]へ入る確率は密度をその区間で積分した面積で、一点だけの確率は0です。累積P・Qと密度は単位も用途も異なるため、密度の高さをp値や発生確率として読まず、必要な結果欄と確率方向を先に決めてください。
• 表示は最大15有効桁ですが、最終桁まで数学的真値を保証するものではありません。順方向と逆方向の反復、極端な形状母数、0または1に近い確率では丸め誤差が拡大し得ます。報告書では母数化、P/Qの向き、使用桁数を記録し、必要精度に応じて別実装や高精度ライブラリとも照合してください。
• 計算は許可制ASTと共有runtime 1.7の有界反復だけで端末内実行します。eval、new Function、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketは使いません。入力値や結果は外部送信・保存されず、WordPressへの書込みや下書き作成も行いません。
• 参照ページ、NIST Engineering Statistics Handbook、DLMFは2026年7月13日に照合しました。本実装はscalarの密度・累積確率・分位点だけを対象とし、値の範囲を走査するグラフ版や一覧表版は説明本文へ縮約せず、このwaveから除外しています。
• 指定分布・母数に基づく数学的結果です。モデル適合、母数推定、検定・監査上の結論を保証しません。

よくある質問