複素Airy関数Ai′(z)・Bi′(z)の一次導関数を計算

使い方

1. zの実部と虚部を入力し、一次導関数の計算を実行します。
2. Ai′(z)とBi′(z)のRe、Im、絶対値、主偏角radを2行の表で確認します。
3. 関数値ページと同じzを使い、微分方程式またはWronskianで値と導関数の組を検算します。

計算式・考え方

Ai′(z)=dAi(z)/dz、Bi′(z)=dBi(z)/dzです。Airy方程式から二次導関数はAi''(z)=zAi(z)、Bi''(z)=zBi(z)となります。

注意事項

• プライムは複素変数zによる正則微分です。実部だけをxで偏微分した値、次数微分、有限差分幅に依存する近似ではありません。複素微分可能性により接近方向によらず同じ導関数になります。
• 原点ではAi′(0)≈−0.258819403792807、Bi′(0)=−√3Ai′(0)≈0.448288357353826です。z=0の既知導関数は符号と正規化を確認する重要な基準点です。
• AiまたはBiの零点とAi′またはBi′の零点は異なります。導関数が0なら元関数の複素臨界点ですが、このページは零点探索をせず指定したzでの値だけを評価します。
• Airy derivativeの複素値やAi prime・Bi primeを一点で確認したい場面に向きます。二次微分が必要ならw''=zwの関係を使えますが、本表にはzによる一次導関数だけを掲載します。
• Ai′(z)とBi′(z)は元関数の増減を表しますが、複素平面では実軸上の傾きという一方向の意味に限定されません。正則微分なので複素方向の局所一次変化を一つの複素係数で表し、Reだけの偏微分値とは区別します。
• Ai′またはBi′の零点は元関数の零点と交互に現れる実軸上の性質を持ちますが、複素零点では単純な符号変化が使えません。本ページは指定点の導関数値を返すだけで、零点順位や零点の存在区間を判定しません。
• 対数微分Ai′/AiやBi′/Biを作ると、元関数の零点近傍で比が発散します。このページは分子となる導関数だけを返すため、比を計算する場合は関数値ページの同じzを使い、分母の大きさと桁落ちを別途確認してください。
• Airy方程式からAi''=zAi、Bi''=zBiを得られるので、一次導関数表と関数値表を組み合わせれば二次導関数も検算できます。ただしzAiという積もbinary64で丸められ、三次以上の微分では漸化関係を正しく適用する必要があります。
• 有限差分[Ai(z+h)−Ai(z−h)]/(2h)との比較は、hが大きいと打切り誤差、小さいと差の相殺が増えます。本結果を差分の正本にせず、複素stepの方向、h、使用精度を記録した補助検算として使います。
• Wronskian AiBi′−Ai′Bi=1/πを確認するときは四値すべてを同じzで揃えます。別々に丸めた表示値から差を取ると、大きな積同士が相殺して誤差が増えることがあるため、必要ならコピーしたRe・Imを高精度環境へ移して再評価します。
• 正の実軸ではAi′は負、Bi′は正ですが、この符号則を一般の複素zへ延長できません。複素値には全順序がないため、増加・減少を符号一つで分類せず、モデルで必要な方向微分や絶対値の変化へ変換して解釈します。
• Airy関数Ai(z)とBi(z)は複素微分方程式w''−zw=0の独立な標準解です。係数が整関数なのでAi、Biとその導関数は複素平面全体で一価の整関数となり、Kelvin関数や非整数次数Bessel関数のような負実軸の枝切りはありません。負の実数を入力しても上側・下側を選ぶ必要はなく、同じzへ同じ値を返します。
• 複素引数はRe(z)とIm(z)を別々の有限数値として入力します。1+0.5iのような式文字列、極形式、変数を含む式は受け付けません。許可範囲は|z|≤12で、各成分が範囲内でも平方和が144を超える点は拒否します。z=0は正則点なので入力でき、既知のGamma関数値と照合できます。
• 正の実軸ではAiが急速に減衰しBiが急速に増加しますが、複素平面では増加・減衰する方向がStokes線を境に入れ替わります。実軸だけの『Aiは小さい、Biは大きい』という覚え方を任意の偏角へ延長せず、実部、虚部、絶対値、主偏角を同じ入力点で確認してください。
• AiとBiのWronskianはAi(z)Bi'(z)−Ai'(z)Bi(z)=1/πです。値と導関数の四つを同じ数値経路で求めたときの整合性検査に使えますが、この恒等式だけが合っても共通の尺度誤りや全桁の正確さまでは保証しません。独立した高精度値、微分方程式、既知の原点値も併用します。
• 原点の値はAi(0)=1/(3^(2/3)Γ(2/3))、Bi(0)=1/(3^(1/6)Γ(2/3))、Ai′(0)=−1/(3^(1/3)Γ(1/3))、Bi′(0)=3^(1/6)/Γ(1/3)です。べき級数ではこの四つを初期値とし、微分方程式の係数漸化式で値と導関数を同時に進められます。符号や√3の係数を検算する基準にもなります。
• 係数が実数なので共役対称性Ai(conj(z))=conj(Ai(z))、Bi(conj(z))=conj(Bi(z))が成り立ち、導関数も同様です。上半平面と下半平面の結果を比較するときは、入力の虚部だけを反転した共役点同士で確認します。任意の二点を共役だと思い込んで虚部の符号を変えません。
• Airy方程式は転回点近傍の一様漸近展開、量子力学の線形ポテンシャル、光学の回折、流体や波動の境界層に現れます。ただし実際のモデルではzへ入る無次元化、複素位相、境界条件によってAiとBiの線形結合が決まるため、計算結果だけから物理的に採用すべき解を自動判定しません。
• 正の実軸でAiが非常に小さくBiが非常に大きい点では、二解を同じ絶対誤差だけで評価できません。Aiは小さい値を保持できたか、Biは相対誤差を保てたかを分けて確認し、Wronskianの差で巨大項が相殺する点では高精度oracleも使います。複素sectorでも優勢解と劣勢解の役割が入れ替わることがあります。
• 表示はIEEE 754 binary64を基礎とする最大15有効桁です。絶対値が極端に小さい解と大きい解が共存するsector、零点の近く、Stokes線の近くでは相対誤差や偏角が敏感になります。表示上0に見える成分を厳密な0と決めず、必要な精度が15桁を超える用途では任意精度実装で再計算してください。
• この計算機は1個の複素入力点におけるunscaled値を返します。区間グラフ、複素零点探索、逆関数、積分、任意精度、誤差区間、指数因子を除いたscaled Airy関数は対象外です。複数点の計算結果をつないでも、その線分が解析接続経路や零点を厳密に表すとは限りません。
• 数値coreは有界な級数、漸近展開、接続式または同値な複素微分方程式移送を使い、反復回数と有限性を検査します。収束しない入力、非有限な中間値、公開範囲外の値を境界へ丸めたり、虚部を捨てて実数版へ移し替えたりせず、計算エラーとして閉じます。
• 入力値と結果は利用者のブラウザ内だけで処理されます。外部API、CDN、fetch、XMLHttpRequest、WebSocket、位置情報、Cookie、localStorageを必要とせず、サーバーへ複素数を送信しません。サイト側で計算履歴を保存しません。共有端末では利用後にページまたはタブを閉じてください。
• 別の数表と比較するときは関数名、引数z、導関数かどうか、有効桁、scaledかunscaledかを一緒に記録してください。特にAi'のプライムはzによる一次微分であり、パラメータ微分や数値列の差分ではありません。実部・虚部を正本として保存すると絶対値と偏角も再構成できます。
• 定義、微分方程式、初期値はNIST DLMF §9.2（https://dlmf.nist.gov/9.2）、べき級数は§9.4（https://dlmf.nist.gov/9.4）、積分表示は§9.5（https://dlmf.nist.gov/9.5）、複素漸近展開とsectorは§9.7（https://dlmf.nist.gov/9.7）を2026年7月15日に照合しました。
• |z|≤12のbinary64複素Airy値です。任意精度、scaled値、零点保証は扱いません。

よくある質問