陪Legendre関数Pν^μ(z)・Qν^μ(z)の複素数計算

使い方

1. 実数次数ν、実数位数μ、複素引数zの実部と虚部を入力します。μ=1または2は整数専用式で受理し、その近傍の非整数値には追加の安全距離を要求します。
2. 結果表のPν^μ(z)行とQν^μ(z)行について、実部、虚部、絶対値、principal argumentを比較します。実数z>1でも非整数μの標準Qは複素値になり得ます。
3. 他のソフトや文献と比べるときは、標準P・標準Q、principal branch、次数ν、位数μ、zを記録し、Ferrers Type A/BやOlverの太字Qではないことを確認します。

計算式・考え方

陪Legendre方程式(1−z²)y″−2zy′+[ν(ν+1)−μ²/(1−z²)]y=0の標準解を返します。Pν^μはNIST DLMF 14.3.6 https://dlmf.nist.gov/14.3.E6、Qν^μは14.3.7 https://dlmf.nist.gov/14.3.E7 の規約と照合しました。

注意事項

• 陪Legendre関数では次数νに加えて位数μが微分方程式へ入ります。νとμが一般の実数なら有限多項式とは限らないため、参照本文の「陪多項式」という呼称を全域へ広げません。整数次数・整数位数の陪Legendre多項式は、この一般関数族の限られた特殊ケースです。
• 一般位数の第1種はw=(1−z)/2として、((z+1)/(z−1))^(μ/2)とregularized Gauss関数boldF(ν+1,−ν;1−μ;w)の積で求めます。ここでboldF=₂F₁/Gamma(c)であり、Gamma除算は記号上の装飾ではなくパラメータ極の扱いに関係します。
• 標準の第2種Qν^μはexp(iπμ)、Gamma(ν+μ+1)、(z−1)^(μ/2)、(z+1)^(μ/2)、z^(−ν−μ−1)と、引数1/z²のregularized Gauss関数を組み合わせます。複素べきは個別のprincipal Logで評価し、(z²−1)^(μ/2)へ無条件にまとめてbranch差を隠しません。
• Qに含まれるexp(iπμ)のため、μが非整数なら実数z>1を入力しても標準Qν^μ(z)は一般に複素値です。虚部が出ることを計算失敗とせず、実部と虚部を分けて表示します。実数だけを返すFerrers関数や異なる位相規約と同一視しないでください。
• μ=1または2では一般P表示の1/Gamma(1−μ)が0になる一方、通常₂F₁側は発散形になり、binary64で0×∞を計算できません。DLMF §14.3 https://dlmf.nist.gov/14.3 の整数位数専用表示へ分岐し、Gamma比は有限積として評価して見かけの極を避けます。
• 負の整数位数μ=−1,−2にはDLMF 14.3.9の表示を用います。正整数位数の式を単純に符号反転したり、Ferrers関数のCondon–Shortley位相を後付けしたりしません。exact整数の判定は入力が厳密に整数の場合だけで、1.999を2へ丸めません。
• 一般Pのパラメータ極に近い不安定域を避けるため、μ=1,2そのもの、または両方から0.05以上離れた非整数μだけを受理します。μ=0.98、1.02、1.98などを黙って整数経路へ移さず拒否し、近傍を連続に広げるのはregularized核の追加監査後にします。
• QのGamma因子を正の有限域へ置くためν+μ+1≥0.25を要求します。解析接続により形式的な有限値が存在し得る入力でも、この条件を外れる場合は初回版の監査対象外です。次数と位数を別々のmin/maxだけで通さず、両欄を使う連動制約として検査します。
• 複素引数のprincipal cutは(−∞,1]であり、公開域は1.25≤Re(z)≤4、|Im(z)|≤2です。DLMF §14.21 https://dlmf.nist.gov/14.21 のbranch定義と§14.23 https://dlmf.nist.gov/14.23 のcut境界値を照合し、上側・下側の選択が必要な点を一つの値へ固定しません。
• μ=0を入力するとPν^0(z)=Pν(z)、Qν^0(z)=Qν(z)となり、位数なしページと両行が一致します。このcross-engine不変条件は数値核とJS実装の検査に使えます。ただしμを非常に小さくした値が表示最終桁まで文字列一致するとは限らず、許容誤差で比較します。
• canonical複素例ν=2.5、μ=0.5、z=2+0.5iではP≈13.6301503720439+10.9274153007682i、Q≈0.0129796196346990+0.00851004368466617iです。一方、exact整数例ν=3、μ=2、z=2ではP=90、Q≈0.104219656731603となり、専用式の有効な検算になります。
• 既存の陪Legendre Type A/Bグラフは整数n,mと−1≤x≤1のFerrers関数を扱います。球面調和関数はさらに正規化と方位角位相を掛けます。本ページはcut外の標準Pν^μ・Qν^μであり、Type、Condon–Shortley位相、球面正規化を選ぶUIではありません。
• NIST DLMF §15.2 https://dlmf.nist.gov/15.2 のGauss級数と§15.8 https://dlmf.nist.gov/15.8 のPfaff変換を再利用します。P側は監査済みPfaff disk、Q側はdirect diskへ必ず入り、各候補最大512項、有限性確認、roundoff推定を通過した場合だけ2行を同時に返します。片方だけ成功した表は表示しません。
• 定義、integer-order分岐、branch、公開域は2026年7月16日にDLMFと高精度oracleで確認しました。μ=1,2近傍の連続拡張、cut両岸、左半平面、大次数・大位数、任意精度、微分、零点探索は初回版の対象外です。
• 複素陪Legendre関数Pν^μ(z)・Qν^μ(z)について: 表示値はIEEE 754 binary64を基礎とする有限精度の近似値です。表示桁数は数学的な保証桁数ではなく、零点付近、非常に大きい値と小さい値が同居する入力、差し引きによる相殺が強い入力では有効桁が減る場合があります。重要な用途では任意精度実装と一次資料でも照合してください。
• 複素陪Legendre関数Pν^μ(z)・Qν^μ(z)について: 入力欄の上下限と連動制約は、独立した高精度oracle、境界格子、seeded random点で監査した公開域です。範囲外を最も近い許可値へ丸めたり、反復途中の有限値を成功結果として返したりせず、監査した数値経路が成立しない場合はfail-closedで停止します。
• 複素陪Legendre関数Pν^μ(z)・Qν^μ(z)について: 数値計算、複素数演算、結果表の生成は利用者のブラウザ内で完結します。外部API、外部CDN、fetch、XMLHttpRequest、WebSocket、WASM、eval、new Functionを使わず、入力値を共有サーバーへ送って計算負荷を移しません。
• 複素陪Legendre関数Pν^μ(z)・Qν^μ(z)について: 結果表の絶対値はhypot(Re,Im)、主偏角はatan2(Im,Re)で計算し、角度単位はradです。値が厳密に0なら偏角は定義できないため空欄になります。負の実軸近くでは微小な虚部の符号により偏角がπ側と−π側へ分かれる点に注意してください。
• 複素陪Legendre関数Pν^μ(z)・Qν^μ(z)について: コピー機能は表示表の転記を助けますが、関数規約、branch、入力域、確認日まで自動保存するものではありません。再現性が必要なら次数、位数、zの実部と虚部、関数名、principal branchを採用したこと、表示値を同じ記録へ残してください。
• 複素陪Legendre関数Pν^μ(z)・Qν^μ(z)について: このページは数学関数の値を返す計算補助です。ポテンシャル問題、電磁場、アンテナ、量子力学などのモデルで、境界条件、正規化、物理単位、採用すべき独立解を自動決定しません。用途固有の式へ代入する前に、その資料の記号と規約を照合してください。
• principal標準P・Qの監査済み有界域をbinary64評価します。cut、極近傍、任意精度、Ferrers Type A/Bは扱いません。

よくある質問