オイラー数E_nを偶数次数0〜100で全桁計算する表

使い方

1. 0〜100から開始次数と終了次数を選び、開始≤終了かつ区間内に偶数があることを確認します。
2. 計算後、E_0=1、E_2=−1、E_4=5という符号規約と先頭・末尾次数を確認します。
3. 全桁TSVを文字列としてコピーし、使用した次数範囲、DLMF規約、確認日と一緒に保存します。

計算式・考え方

sech(t)=Σ E_n t^n/n!、E_0=1のDLMF規約を使い、偶数n>0ではE_n=−Σ_{j=0}^{n/2−1}C(n,2j)E_(2j)を厳密整数で評価します。

注意事項

• ここでのオイラー数はNIST DLMF §24.2の規約です。生成関数sech(t)=2e^t/(e^(2t)+1)=Σ E_n t^n/n!からE_0=1、E_2=−1、E_4=5、E_6=−61となります。符号を外したsecant numberや、奇数添字に別の値を置くEulerian numberとは別の列です。
• 生成関数が偶関数なのでE_(2m+1)=0です。本表は0を大量に並べず、指定した両端を含む区間から偶数次数だけを表示します。たとえば1〜7なら2、4、6の3行です。3〜3のように奇数次数しかない区間は空表を返さず、偶数を1個以上含めるよう入力エラーで案内します。
• 偶数n>0ではΣ_{j=0}^{n/2} C(n,2j)E_(2j)=0を使い、E_n=−Σ_{j=0}^{n/2−1} C(n,2j)E_(2j)と順に求めます。二項係数と既計算のEuler数をすべて整数で掛けて足すため、数値積分や級数の打切り誤差は入りません。
• 符号はE_(2m)が(−1)^mと交互になります。E_0=1、E_2=−1、E_4=5という先頭3値を必ず確認してください。資料が1、1、5、61と正値だけを載せる場合は絶対値のsecant numberを示している可能性があり、本表と符号だけを比較して誤りと判断しないでください。
• 一次資料はNIST DLMF 24.2.E6の生成関数、DLMF 24.2.T4の数表、DLMF 24.5.E4の関係式を参照しました。外部リンクを実行時に読み込まず、参照節番号と最終照合日（2026年7月15日）を再確認できる形で記録します。
• この計算機は小数近似ではなく厳密な整数漸化式を使います。各中間値を任意長整数で保持し、最後に10進文字列へ変換します。IEEE 754 binary64へ巨大整数を一度でも通すと16桁前後から末尾を失うため、Number型への変換、指数表記への丸め、先頭桁だけを残す省略を行いません。
• 結果表では添字も整数値も文字列セルとして扱います。見た目が数字でも、桁数の長い値をブラウザーの数値欄や表計算ソフトの浮動小数点セルへ自動変換しないためです。符号、先頭桁、末尾桁、桁数をそのままコピーでき、画面幅より長い値はページ全体を崩さず表の中だけ横へスクロールします。
• コピー用TSVにも全桁を収録します。ただしExcelなどへ通常貼り付けすると、15桁を超える整数が指数表示になったり末尾が0へ置き換わったりする場合があります。検算用に保存するときは列を文字列として取り込むか、プレーンテキストにも残し、再度TSVへ書き出した後に原文と一致するか確認してください。
• 公開範囲を100以下へ限定するのは計算不能だからではなく、画面、コピー、ブラウザー内メモリー、テスト時間を有界にするためです。漸化式は行を順番に作り、必要な前行だけを保持します。入力を境界へ勝手に丸めたり、上限を超えた表を途中まで黙って返したりしません。
• 整数が全桁であることと、利用者が選んだ定義が正しいことは別です。同じ名前でも符号規約、添字の始点、0行・0列の掲載、Euler polynomialやEulerian numberとの区別が資料ごとに異なります。結果を引用するときは関数名だけでなく、式、符号規約、nとkの範囲を併記してください。
• 表は添字の昇順です。表示順を値の絶対値や文字列順へ並べ替えず、途中の0を空欄へ変えません。先頭・中央・末尾の代表値を正常系と境界系の固定テストへ入れ、ブラウザー実装と生成側の整数漸化式が同じ行数・同じ10進文字列を返すことを確認します。
• 全桁表示は厳密な整数列を再利用しやすくしますが、その値から桁数を落として浮動小数点計算へ入れる後続処理の精度までは保証しません。比、対数、確率、漸近式へ使う場合は、必要桁数と丸め方法を決め、任意精度環境または整数のまま計算できる独立実装で再確認してください。
• nが大きい表では一つのセルが数百桁になります。画面上の列幅だけで値を比較せず、TSVを文字列として保存し、符号、桁数、先頭20桁、末尾20桁など複数の特徴を照合してください。スクリーンショットは途中桁を確認しにくいため、監査記録には入力条件とコピー文字列を残す方法が適します。
• 正常例、最大入力の境界例、範囲または偶奇条件に反する不正例をページ定義へ固定します。不正入力を0や100へ補正せず、対象欄を明示して計算前に停止します。値が巨大であっても有限の厳密整数なので、Infinity、NaN、桁あふれを正常な結果として表示しません。
• 計算、入力検査、表生成、TSV作成は利用者のブラウザー内だけで完結します。外部API、CDN、fetch、XMLHttpRequest、WebSocket、ファイルアップロード、サーバー側計算、閲覧値の保存を使用しません。入力した添字と生成した巨大整数が第三者へ送られる仕組みはありません。
• 実装は固定された三つのmodeだけを許可し、evalやnew Functionで入力をコードとして実行しません。入力は整数型、下限、上限、偶奇、順序を検査し、結果行の列名と文字列形式も検査します。HTMLやJavaScriptらしい文字列を数式として受け取る自由入力欄は設けていません。
• このページは組合せ論、整数列、特殊関数の学習と検算を目的とします。暗号鍵生成、乱数生成、安全設計、金融取引、医療・法令判定の根拠を単独で提供するものではありません。重要な用途では定義資料、独立実装、必要な証明や誤差条件を担当者が確認してください。
• ページ先頭に入力フォームと結果表を置くcalculator-first構成です。最初は既定値を計算し、既知の小さい行を確認してから上限へ広げてください。巨大な境界値だけを見て式の取り違えを判断するより、小さいnで符号と並びを照合してから桁数を増やす方が誤りを見つけやすくなります。
• 本成果物はWordPress本文、追加CSS、追加JavaScriptへ分離できるローカル生成物です。このbuilderはJSON定義を作るだけで、サイトへの接続、下書き作成、既存記事更新、公開処理を行いません。公開時には既存テーマのフォント、余白、モバイル幅を保ったまま表だけ横スクロールさせます。
• 定義済みの整数列をn≤100で厳密計算します。符号規約と添字範囲を確認し、表計算ソフトでは文字列として取り込んでください。

よくある質問