一般化指数積分 E_n(x)を整数次数で計算

使い方

1. 入力欄へ1以上32以下の整数nと0以上10以下の実数xを指定します。既定値はcanonicalページと同じn=2、x=1です。
2. 「計算する」を押し、結果欄に表示されるE_n(x)を確認します。入力エラーが出た場合は範囲と特異点を見直します。
3. E2(0)=1、E1(x)=−Ei(−x)、次数間の漸化式を使って符号、極限、既知値との整合を確認します。
4. 結果を再利用するときはコピーボタンを使い、関数の定義、入力値、丸め桁も一緒に記録します。

計算式・考え方

整数n≥1について E_n(x)=∫_1^∞ e^(−xt)/t^n dt と定義します。x>0では n E_(n+1)(x)+x E_n(x)=e^(−x) が成り立ちます。

注意事項

• E_nは積分核の分母にtの整数べきが入る一般化指数積分です。次数nが大きいほどt>1の寄与が抑えられ、同じ正のxでは値が小さくなる傾向があります。E1は通常の指数積分E1に一致し、Eiとは引数の符号を介して結ばれます。
• このページはnを1から32の整数へ限定し、xを非負実数として扱います。複素x、非整数次数、解析接続は対象外です。整数条件を満たさないnを近い整数へ丸めないため、2.5のような入力は明示的なエラーになります。
• x=0ではn>1なら積分が初等的に計算でき、E_n(0)=1/(n−1)です。一方E1(0)は対数的に発散するので入力エラーです。n=32とx=10も有限範囲内で計算できますが、値は小さいため有効桁の読み方に注意します。
• xが増えると指数減衰e^(−xt)が強くなり、E_n(x)は正のまま減少します。固定xで次数を上げたときも積分核1/t^nが小さくなります。結果が正であること、漸化式の左右が近いことを組み合わせて検算できます。
• 一般化指数積分は放射輸送、減衰を含む積分、熱・拡散問題の境界解などに現れます。採用されるE_nの定義には流儀があるため、参照式の積分下限が1であり、核がe^(−xt)/t^nであることを確認してから使います。
• E1(x)=−Ei(−x)を利用すると、正のxでEiスカラー計算機と相互検算できます。次数間ではE_(n+1)(x)=(e^(−x)−xE_n(x))/nです。丸め誤差が蓄積するので、非常に高い精度が必要なら任意精度ライブラリも併用します。
• グラフ版はnを固定してxに対する減衰を観察します。スカラー版ではnも入力できるため、同じxで次数を変える比較や、x=0の特別値を一点ずつ確認するのに適しています。
• 一般化指数積分E_nの定義、実数枝、特異点、既知の関係式は、NIST Digital Library of Mathematical Functions（DLMF）の§8.19を2026年7月13日に照合しました。実装は公式の定義と同じ関数を共有数値エンジンで直接評価し、ページごとに別の近似式を複製していません。そのためグラフ版とスカラー版で枝や正規化が食い違うことを避けられます。
• 一般化指数積分E_n計算ページは、一つの入力条件に対する一つの実数値を確認するためのスカラー計算機です。連続した多数の点を観察したい場合は対応するグラフ版を使い、ここでは代表点、境界点、論文や教科書の例題に現れる値を落ち着いて照合してください。数式の記号が同じでも、正規化、積分路、主値、枝の選び方が異なれば別の値になります。入力前に一般化指数積分E_nページで採用した定義を確認することが重要です。
• 表示値はブラウザのIEEE 754 binary64相当の有限精度で計算し、最大15桁を目安に整形します。最終桁は丸め、演算順序、参照ソフトの内部アルゴリズムによってわずかに変わることがあります。ゼロに非常に近い結果では相対誤差が大きく見えるため、絶対誤差も併せて判断してください。任意精度計算や複素数解析を置き換えるものではなく、実数範囲で再現しやすい確認値を得るための道具です。
• 入力範囲は、共有数値エンジンで十分に検証した有限区間へ明示的に限定しています。範囲外、未定義点、NaN、無限大、必要な整数条件を満たさない値は推測で丸めず、入力エラーとして停止します。特異点の近くで大きな有限値が返る場合と、特異点そのものが未定義である場合を区別してください。エラーを別の数で埋める処理は行わないため、計算条件の取り違えを発見しやすくなっています。
• 計算は端末内のJavaScriptだけで完結し、入力値を外部APIへ送信しません。通信待ちやサーバー側の計算資源に依存しないため、同じブラウザ環境と同じ入力なら結果を再確認できます。ただし画面の値だけを根拠に工学上の安全率、医療判断、金融判断を決めることはできません。単位、前提式、測定誤差、モデルの適用範囲を含めて、利用目的に応じた検証を別途行ってください。
• 検算では通常点だけでなく、符号反転、ゼロ、定義域の端、特異点の直前直後を分けて調べると効果的です。対応する恒等式や漸化式がある場合は、元の入力を少し変えた結果も比較してください。表計算ソフトや数値ライブラリと照合するときは、関数名だけでなく実数枝と正規化を一致させます。コピーした値には関数名、入力、確認日を添えると、後から条件を復元しやすくなります。
• 実数二進浮動小数点による学習・検算用の近似値です。複素枝、任意精度、個別の工学・科学モデルの妥当性は扱いません。

よくある質問