対数積分 li(x)を実数Cauchy主値で計算

使い方

1. 入力欄へ0以上20以下で1から離れた実数xを指定します。既定値はcanonicalページと同じx=2です。
2. 「計算する」を押し、結果欄に表示されるli(x)を確認します。入力エラーが出た場合は範囲と特異点を見直します。
3. li(0)=0、li(x)=Ei(ln x)、x=1の両側での発散を使って符号、極限、既知値との整合を確認します。
4. 結果を再利用するときはコピーボタンを使い、関数の定義、入力値、丸め桁も一緒に記録します。

計算式・考え方

li(x)=PV∫_0^x dt/ln(t)=Ei(ln x) と定義し、x>0、x≠1で評価します。端点x=0には極限によるli(0)=0を割り当てます。

注意事項

• 対数積分liは1/ln(t)を積分する関数で、素数定理に現れる近似関数として知られます。t=1ではln(t)=0となるためCauchy主値が必要です。正のxを対数へ写し、指数積分Eiで評価できる関係li(x)=Ei(ln x)を使います。
• このページはx≥0の実数枝だけを扱います。負のxに対する複素対数や複素liは対象外です。x=1の直前直後は大きな負の有限値になりますが、1そのものには有限値を割り当てません。
• li(0)=0は積分式の端点を極限で連続延長した特別値です。x=1では対数的に発散するため入力エラーです。二進浮動小数点で1へ丸められるほど近い値も特異点として安全側に拒否します。共有数値関数は最小subnormalでも符号付き−0を保つ回帰試験を行いますが、画面の入力欄は24文字以内の通常十進表記に限定されます。
• 0<x<1ではli(x)は負で、x→0+では0へ近づきます。x→1の両側では−∞へ発散し、1より大きい側では増加して途中で0を横切ります。既定値x=2では正の約1.045です。
• liは素数計数関数π(x)の近似や解析的整数論で使われます。ただし有限のxでπ(x)と完全に一致するわけではなく、整数個数を返す関数でもありません。小さなxでの近似精度だけを見て素数の個数を断定しないでください。
• 文献のLi(x)はしばしば∫_2^xdt/ln(t)=li(x)−li(2)を意味し、先頭が大文字かどうかだけでは流儀を判別できません。このページは0からのCauchy主値liを採用するため、比較時は定数差li(2)を確認します。
• グラフ版は負の入力を欠損とし、x=1にも空白を置いて枝を分けます。スカラー版は入力欄で表せる小さな正数、1の直前直後、素数近似で使う一点を詳しく確認できます。
• 対数積分liの定義、実数枝、特異点、既知の関係式は、NIST Digital Library of Mathematical Functions（DLMF）の§6.2(i)を2026年7月13日に照合しました。実装は公式の定義と同じ関数を共有数値エンジンで直接評価し、ページごとに別の近似式を複製していません。そのためグラフ版とスカラー版で枝や正規化が食い違うことを避けられます。
• 対数積分li計算ページは、一つの入力条件に対する一つの実数値を確認するためのスカラー計算機です。連続した多数の点を観察したい場合は対応するグラフ版を使い、ここでは代表点、境界点、論文や教科書の例題に現れる値を落ち着いて照合してください。数式の記号が同じでも、正規化、積分路、主値、枝の選び方が異なれば別の値になります。入力前に対数積分liページで採用した定義を確認することが重要です。
• 表示値はブラウザのIEEE 754 binary64相当の有限精度で計算し、最大15桁を目安に整形します。最終桁は丸め、演算順序、参照ソフトの内部アルゴリズムによってわずかに変わることがあります。ゼロに非常に近い結果では相対誤差が大きく見えるため、絶対誤差も併せて判断してください。任意精度計算や複素数解析を置き換えるものではなく、実数範囲で再現しやすい確認値を得るための道具です。
• 入力範囲は、共有数値エンジンで十分に検証した有限区間へ明示的に限定しています。範囲外、未定義点、NaN、無限大、必要な整数条件を満たさない値は推測で丸めず、入力エラーとして停止します。特異点の近くで大きな有限値が返る場合と、特異点そのものが未定義である場合を区別してください。エラーを別の数で埋める処理は行わないため、計算条件の取り違えを発見しやすくなっています。
• 計算は端末内のJavaScriptだけで完結し、入力値を外部APIへ送信しません。通信待ちやサーバー側の計算資源に依存しないため、同じブラウザ環境と同じ入力なら結果を再確認できます。ただし画面の値だけを根拠に工学上の安全率、医療判断、金融判断を決めることはできません。単位、前提式、測定誤差、モデルの適用範囲を含めて、利用目的に応じた検証を別途行ってください。
• 検算では通常点だけでなく、符号反転、ゼロ、定義域の端、特異点の直前直後を分けて調べると効果的です。対応する恒等式や漸化式がある場合は、元の入力を少し変えた結果も比較してください。表計算ソフトや数値ライブラリと照合するときは、関数名だけでなく実数枝と正規化を一致させます。コピーした値には関数名、入力、確認日を添えると、後から条件を復元しやすくなります。
• 実数二進浮動小数点による学習・検算用の近似値です。複素枝、任意精度、個別の工学・科学モデルの妥当性は扱いません。

よくある質問