不完全ベータBx・正規化Ixの逆関数を計算

使い方

1. BxかIxかの関数モード、関数値y、正のa,bを、問題文や検算元の記号と同じ順序で確認します。
2. 選択モードに対応するy上限とa,bの順序を入力し、P/Q/I、前向き・逆、正規化の選択を見直します。
3. 「計算する」を押し、逆値x、前向きIx/Bx、完全Betaと入力yの往復を出力ラベルと式に照らして読みます。
4. 補数和、対称性、前向き→逆の往復を確認し、丸め前の入力とソフトウェア版を記録します。

計算式・考え方

Bxモードではp=y/B(a,b)、Ixモードではp=y。x=I⁻¹_p(a,b)を求め、Ix(a,b,x)とBx(a,b,x)=B(a,b)Ix(a,b,x)へ戻して往復を表示します。

注意事項

• 非正規化・正規化不完全Betaの逆関数は、選択した非正規化Bxまたは正規化Ixの関数値を0〜1の正規化確率へ直し、有界な単位区間上でxを戻すものです。参照ページの一つの計算目的を保ち、グラフや可変行表へ広げず、入力した有限実数から固定個数のscalar結果を返します。分布名や関数名が似ていても、正規化・非正規化、下側・上側、前向き・逆関数を出力名で区別します。
• 式とパラメータ化は、参照ページの関数選択、a,bと動的な関数値yを明示的な四入力として扱い、DLMF 8.17の正規化定義で変換します。非正規化モードだけ完全Betaで割り、共有regularized_beta_i_inverse(a,b,p)を呼びます。位置・尺度を暗黙に追加せず、自由度ν、ν1、ν2の順序、aとbの順序、xの意味を参照式どおりに固定します。別ライブラリと比べるときは引数順を最初に確認します。
• 定義域は、a,bは1e-12〜170、Bxモードは0≤y≤B(a,b)、Ixモードは0≤y≤1です。境界については、y=0はx=0、Bxモードのy=B(a,b)またはIxモードのy=1はx=1で、どちらも有限端点として扱います。定義域外、有限倍精度で表せない分位点、非正規化値があふれる形状を便宜的な0や最大値へ置き換えず、該当入力のエラーとして示します。
• 下側と上側は、逆関数内部はp>0.5でa,bを交換した小さい補数側を解き、1−xの対称変換を使います。P+Q=1またはI_x(a,b)+I_(1−x)(b,a)=1という関係を検算に使いますが、小さい側の裾を1からの引算だけで作りません。上側は対称変換または専用Q関数を直接使い、極端な裾の有効桁を保ちます。
• 逆関数では、区間[0,1]を保つ逆Beta named functionを使い、前向きIx/Bxを同時に出して入力yとの往復誤差を確認します。下側Pと上側Qは同じ数値を入力しても、t分布では符号が反転し、F分布では小さい点と大きい点になります。端点0・1は理論上無限になる分位点では有限入力域から除き、有限端点を持つ不完全ベータ逆関数では0と1をそのまま扱います。
• 数値安定性は、Bxモードのp=y/Bを検証後に作り、逆関数は小さい裾への対称変換と有界反復を使います。固定回数Newtonだけにはしません。共有runtime 1.7の正規化不完全Gamma/Beta関数は級数・連分数・対称変換と反復上限を持ち、逆関数は区間を保った反復を使います。このページ側では巨大な固定段数ASTや無根拠な近似係数へ戻しません。
• 結果の読み方は、xは積分上限です。BxモードとIxモードでは同じ数値yでも正規化の有無が違うため、一般に異なるxになります。確率密度f(x)は一点の確率ではなく曲線の高さです。累積確率は区間の面積、パーセント点は指定面積に対応する横軸の値です。数値が得られても検定の採否、モデル適合、標本の独立性は自動判定しません。
• 一次資料は、NIST DLMF 8.17.1〜8.17.4のBx/Ix定義・対称性と、参照ページのBx/Ix選択および既定POST値を確認しました（確認日2026年7月13日）。NIST/DLMFの式、定義域、対称関係と参照ページの既定POST値を独立に照合し、文章やプログラムを複製していません。将来のruntime改定では同じ通常・境界・裾・往復ケースを再実行します。
• 検算例は、a=1,b=3でBx=0.3はp=0.9となりx≈0.5358411166、Ix=0.3ならx≈0.1120959983です。通常点に加えて、中心、x=0または1、P/Qの補数、負側t、自由度や形状の下限外、逆関数の前向き往復を確認します。異常例では計算を続けず、NaNやInfinityを通常の有限結果に見せません。
• このページが扱わない範囲は、複素逆関数、a,b≤0、単位区間外の解、多価枝、任意精度、Beta分布の統計的推定は扱いません。複素引数、解析接続、任意精度、多変量分布、非心分布、標本からのパラメータ推定、p値の多重比較補正などは、それぞれ専用定義と検証が必要です。
• 参照ページとの対応は、参照ページのBx/Ix二モードと単一x出力を維持し、画面上で動的表示されるyを明示入力、往復値を検算出力にします。追加出力は同じ式のP/Q/I、補数、正規化値、往復値など検算可能な内訳だけです。グラフ版canonicalや範囲走査を混ぜず、1ページ1ツールの固定入力・固定出力にしています。
• 計算はブラウザ内で完結し、外部API、CDN、任意コード実行を使いません。重要な研究・品質保証では、採用した分布パラメータ、裾の向き、丸め前の確率、ソフトウェア名と版を記録し、R、SciPy、NIST表など独立実装でも照合してください。
• 有限な実数とIEEE 754倍精度による学習・検算用の近似値です。検定結論、モデル妥当性、複素枝、任意精度を確定しません。

よくある質問