第2種不完全楕円積分 E(φ,k) 計算

第2種不完全楕円積分 E(φ,k) 計算

振幅φを度・ラジアンで指定して第2種不完全楕円積分を計算し、±360度を周期延長します。

入力

角度の単位を選びます。度は±360、ラジアンは±2πが有効範囲です。

度は±360、ラジアンは±2πまで入力できます。内部ではラジアンへ換算します。

φ形式のcanonical範囲−1≤k≤1です。|k|=1では経路上の特異点を検査します。

使い方

  1. φと度・ラジアンを選び、−1≤k≤1を入力します。既定値は60度、k=0.9です。
  2. 入力条件を確認し、「計算する」を押します。結果欄には楕円積分の無次元値を表示します。
  3. kをparameter mで与えられた資料と比較するときは、m=k²へ換算してから照合します。
  4. 結果をコピーする場合は関数名、入力値、角度単位、確認日も一緒に記録してください。

計算式・考え方

E(φ,k)=∫[0,φ] √(1−k²sin²θ)dθ を計算し、E(φ+mπ,k)=E(φ,k)+2mE(k)で延長します。

注意事項

  • 被積分関数はπ周期です。φ=mπ+rへ還元し、完全積分2mE(k)を加えてr∈[−π/2,π/2)だけをCarlson RF/RDで評価します。これにより複数周期でも積分量を保ちます。
  • −1≤k≤1では±2πまで有限です。k=±1の被積分関数は|cosθ|で、360度の積分は4となります。第1種とは異なりπ/2を横切っても発散しません。
  • 楕円弧長や周期的な曲線長を振幅で積算するときに使えます。φが90度を越える場合、x=sinφへ落とすと既に通過した弧の長さが消えるため、振幅形式の周期延長が必要です。
  • 比較対象canonicalは180度を入力するとx=sinπ=0として0を返しますが、定義積分はE(π,k)=2E(k)です。本ページはDLMF §19.2.10に従い、この周期情報の欠落を修正します。
  • 60度、k=0.9ではE=0.906456986263154005でcanonical POSTと一致します。360度、k=1では0ではなく∫0^(2π)|cosθ|dθ=4です。
  • E(φ+π,k)=E(φ,k)+2E(k)、E(−φ,k)=−E(φ,k)を使って周期延長を確認できます。k=0ならE(φ,0)=φ、k=1なら区間ごとの|cosθ|の積分です。180度で2E(k)となることは、x形式への誤った縮約を見つける強いテストです。
  • 楕円弧長へ使う場合、φは補助円上の振幅であり、楕円の中心から見た極角とは一般に一致しません。座標をx=a sinφ、y=b cosφのように置いた式から振幅を取得します。このページは無次元積分値を返すので、実長には式で指定された半径係数を掛けます。
  • 第2種不完全楕円積分 E(φ,k)について: この計算は入力から結果表示までブラウザ内で完結します。外部APIへ入力値を送らず、サーバー側で数値積分を繰り返しません。固定回数上限を持つCarlson対称積分の重複法を使うため、端末の計算資源だけで応答し、通信状態に左右されず検算できます。
  • 第2種不完全楕円積分 E(φ,k)について: 記号kはLegendre楕円積分の母数modulusです。SciPyやMATLABなど一部の資料・関数が使うparameter mとはm=k²の関係です。たとえばこのページでk=0.5を指定すると、mを取る関数には0.25を渡します。kとmの取り違えは数値不一致の代表原因です。
  • 第2種不完全楕円積分 E(φ,k)について: 数値計算はNIST DLMF §19.25のLegendre積分とCarlsonのRF、RD、RJの関係を用い、§19.36の重複法に沿って差を反復的に縮小します。反復は64回を上限にし、収束しない値を近似値へ黙って置き換えません。式と計算法は2026年7月13日に照合しました。
  • 第2種不完全楕円積分 E(φ,k)について: 表示値はJavaScriptのIEEE 754 binary64相当で最大15桁に整形します。特異点へ近づくほど関数値と条件数が大きくなり、入力末尾の小さな差が結果へ強く反映されます。高精度論文や任意精度計算を置き換えるものではなく、通常精度の設計・学習・実装検算向けです。
  • 第2種不完全楕円積分 E(φ,k)について: このページは有限な通常の実積分を対象とします。複素数への解析接続、分母の極をまたぐCauchy主値、発散積分へ便宜的な有限値を割り当てる処理は行いません。入力条件を満たさない場合は対象欄を明示して停止するため、結果だけを見て定義域外に気づかない事故を防げます。
  • 第2種不完全楕円積分 E(φ,k)について: 楕円積分は単振り子の周期、楕円弧長、電磁気、弾性、確率分布の変数変換などに現れます。ただし実際の物理量へ適用するときは、無次元化、単位、境界条件、採用するkまたはmの規約を元の式で確認してください。この計算値だけで安全率や設計可否を決めないでください。
  • 第2種不完全楕円積分 E(φ,k)について: 実際の検算では、まず既定値を計算して表示桁と入力規約を確認し、次にゼロ、符号反転、完全積分へ戻る端点など既知の関係を一つずつ試します。その後で目的の入力を計算し、結果を別のソフトへ渡すときは画面表示を手入力せずコピーボタンを使います。末尾桁の差は二進浮動小数と表示丸めで生じるため、全桁一致だけを合否基準にせず、絶対誤差と相対誤差、特異点からの距離を併記してください。同じ値を再現するには関数の種類、引数順、kかmか、角度単位、使用した桁数を記録します。
  • 有限な通常の実数楕円積分を学習・検算するツールです。Cauchy主値、複素値、任意精度は扱いません。

よくある質問

E(360度,1)=4になるのはなぜ？

k=1の被積分関数が|cosθ|で、一周分の面積が4だからです。

180度をx=sinφへ変換してよいですか？

いいえ。x=0だけでは通過した半周期を表せません。

k=1でも全範囲を計算できますか？

第2種は有限なので±360度まで計算できます。

第2種不完全楕円積分 E(φ,k)の入力と結果は利用端末内だけで処理され、外部APIやWordPressへ自動送信しません。ページを閉じた後の履歴保存もこのツール自身は行いません。