逆カイ二乗分布の密度・下側累積・上側累積グラフ（自由度ν）

使い方

1. 確率密度f、下側累積P、上側累積Qから表示する関数を選び、自由度νを入力します。既定ν=4はshape a=2、scale=1/2です。
2. x格子を非負範囲で指定します。既定は0から2まで0.02刻みの101点で、原点から立ち上がる山と右裾を確認します。
3. 別実装と比較するときはscaled inverse-chi-squareの尺度τ²を暗黙に使っていないか確認し、本ページの1/(2x)とP/Qの尾方向を揃えます。

計算式・考え方

a=ν/2、x>0でf(x;ν)=x^(−a−1)e^(−1/(2x))/(2^aΓ(a))です。log f=(−a−1)log x−1/(2x)−a log 2−log Γ(a)を評価します。x→0+では指数減衰が負べきより速いため密度の極限は0で、原点は明示的に0を返します。P=Q_reg(a,1/(2x))、Q=P_reg(a,1/(2x))で、変換が減少するためGamma側の尾が入れ替わります。

注意事項

• 本ページの逆カイ二乗分布は、自由度νのカイ二乗変数Zに対するX=1/Zの分布です。したがってInverseGammaのshape a=ν/2、scale=1/2に一致します。SciPy公式invgammaの標準式とscale変換を照合し、既存scalar版と同じ母数化を保っています。
• 名称が似たscaled inverse-chi-square分布では、scaleがντ²/2となる流儀があります。τ²=1/νを選んだ場合だけ本ページのscale=1/2と一致し、一般には同じ自由度でも曲線が異なります。式、scale、変数がカイ二乗の逆数なのか分散母数なのかを先に確認してください。
• 原点ではxの負べきx^(−a−1)だけを見ると発散しそうに見えますが、e^(−1/(2x))がより速く0へ近づくため全体の極限は0です。式へx=0を直接代入すると除算不能なので、対数式とは別の遅延分岐で数学的極限0を返しています。
• 右裾は多項式的に減衰し、自由度によっては平均や分散が存在しません。a=ν/2なので平均はν>2、分散はν>4でのみ有限です。グラフ範囲内で曲線が低くなっても、表示外の右裾面積が無視できるとは限りません。密度図だけで期待値や区間確率を推測しないでください。
• X=1/Zは単調減少変換なので、逆カイ二乗の下側PはGamma側の上側Q、逆カイ二乗の上側QはGamma側の下側Pになります。原点だけは1/(2x)を評価せずP=0、Q=1を専用分岐で返します。
• 確率密度f(x)は一点の発生確率ではなく、連続分布の一点確率は0です。下側累積P(x)はX≤xの左側面積、上側累積Q(x)はX>xの右側面積で、同じxならP+Q=1です。fは密度、PとQは0〜1の確率なので、縦軸の高さを三つの関数間で直接比較しないでください。
• 標本番号i=0,…,n−1についてx_i=x初期値+i×x増分を評価します。線は隣接する有限標本値を視覚的に結ぶだけで、その間を追加計算したものではありません。山頂や急変部を詳しく見るときは範囲を狭めて刻みを細かくし、重要なxが格子へ含まれるように調整してください。
• 点数は端末負荷を一定に保つため1〜201点へ有界化しています。増分を負にすると同じ支持域を右から左へ確認でき、1点だけの評価も可能です。増分0と支持域外へ出る最終点は、重複表や無意味な延長を作らないよう送信前の項目エラーとして示します。
• 支持域端点で密度の極限が有限なら0または解析値を返します。一方、形状母数によって+∞へ発散する端点は最大値や大きな有限値へ置き換えず、そのセルを「未定義」として線を切ります。これは式の不具合ではなく密度関数の特異性であり、端点直後の正のxを含めると曲線の立ち上がりを確認できます。
• 密度は対数形で組み立て、最後にexpを一度適用します。xのべき、Gamma関数、尺度係数を先に巨大な積や商へするとオーバーフローしやすいためです。それでも倍精度より小さい裾は0へ丸まり得ます。0は必ずしも数学的に厳密な0ではないので、極端な尾の対数密度が必要な用途には使わないでください。
• 累積P・Qは正則化不完全GammaまたはBeta関数の安定な向きを直接評価します。小さい上側確率を常に1−Pだけで作ると、Pが倍精度で1へ丸まった時に有効桁を失います。Gamma系は専用Q、Beta系は引数と形状を入れ替えた対称式を使い、t分布はxの符号で小さい側を直接選びます。
• グラフが主結果ですが、色や形だけに依存しない同値の表を併記し、全行をTSVでコピーできます。数値照合では画像の高さではなく表のxと選択した関数値を正本にしてください。表示は最大15有効桁で、異なるライブラリ、CPU、母数範囲では丸め順によって末尾桁が異なる場合があります。
• 計算はschema v4のsampled-series-v1と許可制ASTを使い、各xを利用者の端末内で独立評価します。eval、new Function、外部API、CDN、fetch、XHR、WebSocketは使用しません。入力値と生成系列は外部へ送信・保存されず、WordPressへの書込み、下書き作成、公開も行いません。
• 密度・累積・上側確率の式と母数化は2026年7月13日にNIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods、NIST Engineering Statistics HandbookおよびSciPy公式scipy.statsリファレンスで照合しました。参照ページの既定格子は保ちつつ、静止画像ではなく再計算できるSVG、表、TSVへ置き換えています。
• 指定した理論分布・母数の密度・累積グラフです。データへの適合、母数推定、仮説検定、医療・品質・監査上の結論を保証しません。

よくある質問